Veiksnio kvadratinės lygtys

Video.: 9 klasė. Kvadratinės lygtys. Nepilnoji kvadratinė lygtis

Turinys

Žengti
Pradžia
1 metodas iš 6: bandymas ir klaida
2 metodas iš 6: Skilimas
3 metodas iš 6: trigubas žaidimas
4 metodas iš 6: skirtumas tarp dviejų kvadratų
5 metodas iš 6: ABC formulė
6 metodas iš 6: skaičiuoklės naudojimas
Patarimai
Įspėjimai
Būtinybės

Polinome yra tam tikros galios kintamasis (x) ir keli terminai ir (arba) konstantos. Norėdami suskaičiuoti daugianarį, turėsite išskaidyti išraišką į mažesnes išraiškas, kurios padauginamos kartu. Tam reikia tam tikro matematikos lygio, todėl gali būti sunku suprasti, jei dar nesate taip toli.

Žengti

Pradžia

Lygtis. Standartinis kvadratinės lygties formatas yra:

kirvis + bx + c = 0
Pradėkite išdėstydami terminus jūsų lygtyje nuo didžiausios iki mažiausios galios. Pavyzdžiui, paimkite:

6 + 6x + 13x = 0
Pertvarkysime šią išraišką, kad būtų lengviau dirbti - paprasčiausiai perkeliant terminus:

6x + 13x + 6 = 0
Raskite veiksnius naudodami vieną iš toliau pateiktų metodų. Faktuojant polinomą bus gautos dvi mažesnės išraiškos, kurias galima padauginti, kad gautumėte originalų polinomą:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Šiame pavyzdyje (2x +3) ir (3x + 2) yra faktoriai iš pradinės išraiškos - 6x + 13x + 6.
Patikrinkite savo darbą! Padauginkite rastus veiksnius. Sujunkite tas pačias sąlygas ir baigsite. Pradėti nuo:

(2x + 3) (3x + 2)
Išbandykime tai, padauginę terminus naudodami EBBL (pirmasis - išorinis - vidinis - paskutinis), kuris mums suteikia:

6x + 4x + 9x + 6
Dabar pridedame 4x ir 9x kartu, nes jie yra vienodi terminai. Mes žinome, kad veiksniai yra teisingi, nes mes grąžiname pradėtą lygtį:

6x + 13x + 6

1 metodas iš 6: bandymas ir klaida

Jei turite gana paprastą polinomą, galite iš karto pamatyti, kokie veiksniai yra. Pavyzdžiui, po tam tikros praktikos daugelis matematikų sugeba pamatyti išraišką 4x + 4x + 1 turi veiksnius (2x + 1) ir (2x + 1) vien todėl, kad jie tai matė tiek kartų. (Akivaizdu, kad tai nebus taip lengva, kai bus sudėtingesni polinomai.) Paimkime mažiau standartinę šio pavyzdžio išraišką:

3x + 2x - 8

Parašykite faktorius a terminas ir c terminas. Naudokite formatą kirvis + bx + c = 0, atpažinti a ir c terminus ir atkreipkite dėmesį į tai, kokie veiksniai yra. 3x + 2x - 8 reiškia:

a = 3 ir turi 1 veiksnių porą: 1 * 3
c = -8 ir tai turi 4 veiksnių poras: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ir -1 * 8.
Užrašykite dvi skliaustų poras tuščia vieta. Čia įveskite kiekvienos išraiškos konstantas:

(x) (x)
Užpildykite vietą prieš x, nurodydami keletą galimų veiksnių a vertė. Už a mūsų pavyzdžio terminas 3x, yra tik 1 galimybė:

(3x) (1x)
Užpildykite 2 tarpus po „x“ su keliais konstantų veiksniais. Tarkime, kad mes pasirinkome 8 ir 1. Įveskite tai:

(3x8) (X1)
Nustatykite, kurie ženklai (pliusas ar minusas) turėtų būti tarp x kintamųjų ir skaičių. Atsižvelgiant į originalios išraiškos simbolius, galima sužinoti, kokie turėtų būti konstantų simboliai. Paimkime dvi dviejų veiksnių konstantas h ir k paminėti:

Jei kirvis + bx + c, tada (x + h) (x + k)
Jei kirvis - bx - c arba kirvis + bx - c, tada (x - h) (x + k)
Jei kirvis - bx + c, tada (x - h) (x - k)
Mūsų pavyzdyje 3x + 2x - 8 ženklas yra: (x - h) (x + k), o tai suteikia mums šiuos du veiksnius:

(3x + 8) ir (x - 1)
Išbandykite pasirinkimą naudodami pirmąjį-išorinį-vidinį-paskutinįjį dauginimą. Greitas pirmasis patikrinimas, ar vidurinis terminas yra bent jau teisinga. Jei ne, tada tikriausiai turite ne tą c pasirinktus veiksnius. Išbandykime atsakymą:

(3x + 8) (x - 1)
Padauginę gauname:

3x - 3x + 8x - 8
Supaprastinkite šią išraišką, pridėdami panašius terminus (-3x) ir (8x), ir gausime:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Dabar žinome, kad atsižvelgėme į neteisingus veiksnius:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Jei reikia, pakeiskite pasirinkimą. Mūsų pavyzdyje pabandykime 2 ir 4, o ne 1 ir 8:

(3x + 2) (x - 4)
Dabar mūsų c terminas lygus -8, tačiau išorinis / vidinis (3x * -4) ir (2 * x) sandauga yra -12x ir 2x, o tai nėra teisinga b kadencija arba + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Jei reikia, pakeiskite užsakymą. Pabandykime apversti 2 ir 4:

(3x + 4) (x - 2)
Dabar mūsų c terminas (4 * 2 = 8) ir vis tiek gerai, bet išoriniai / vidiniai gaminiai yra -6x ir 4x. Kai juos sujungiame, gauname:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Dabar artėjame prie 2x, kur norime būti, tačiau ženklas dar nėra teisingas.
Jei reikia, dar kartą patikrinkite savo simbolius. Mes laikomės šios tvarkos, bet pakeiskite ją su minuso ženklu:

(3x - 4) (x + 2)
Dabar c terminas vis dar gerai, o išoriniai / vidiniai gaminiai dabar yra (6x) ir (-4x). Nes:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Dabar matome teigiamą 2x atgal iš pradinės problemos. Tai turi būti teisingi veiksniai.

2 metodas iš 6: Skilimas

Šis metodas pateikia visus galimus jo veiksnius a ir c terminus ir juos naudoja, kad išsiaiškintų, kurie veiksniai yra teisingi. Jei skaičiai yra labai dideli arba kitų metodų spėjimas užtruks per ilgai, naudokitės tokiu būdu. Pavyzdys:

6x + 13x + 6

Padauginkite a terminas su c terminas. Šiame pavyzdyje a yra 6 ir c taip pat yra 6.

6 * 6 = 36
Surask b terminas pagal faktorizavimą ir testavimą. Mes ieškome 2 skaičių, kurie yra veiksniai a * c ir kartu b kadencija (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Du lygtyje esančius skaičius pakeiskite kaip skaičių sumą b terminas. Leiskime k ir h atvaizduoti 2 mūsų turimus skaičius - 4 ir 9:

kirvis + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Faktorius polinomas grupuojant. Sutvarkykite lygtį taip, kad galėtumėte atskirti didžiausią pirmųjų dviejų ir dviejų paskutiniųjų terminų bendrą daliklį. Abu veiksniai turėtų būti vienodi. Sudėkite GGD kartu ir padėkite juos skliausteliuose šalia veiksnių; to rezultatas - du veiksniai:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

3 metodas iš 6: trigubas žaidimas

Panašus į skaidymo metodą. Taikant „trigubo žaidimo“ metodą nagrinėjami galimi produkto sandaugos veiksniai a ir c ir naudokis ja, kad sužinotum b privalo būti. Paimkime lygtį kaip pavyzdį:

8x + 10x + 2

Padauginkite a terminas su c terminas. Kaip ir skaidymo metodu, mes naudojame tai nustatydami kandidatus į b terminas. Šiame pavyzdyje: a yra 8 ir c yra 2.

8 * 2 = 16
Raskite 2 skaičius, kurių šis skaičius yra sandauga ir kurių suma lygi b terminas. Šis žingsnis yra tas pats, kas skaidymo metodas - mes išbandome kandidatus į konstantas. Produktas a ir c terminai yra 16, o c terminas yra 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Paimkite šiuos 2 skaičius ir pakeiskite juos „trigubo žaidimo“ formule. Paimkite 2 skaičius iš ankstesnio žingsnio - paimkime juos h ir k paskambinkite jiems ir įveskite juos į išraišką:

((kirvis + h) (kirvis + k)] / a

Tai gausime:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Pažiūrėkite, kurį iš dviejų vardiklio terminų galima visiškai padalyti a. Šiame pavyzdyje nagrinėjame, ar (8x + 8), ar (8x + 2) galima padalyti iš 8. (8x + 8) dalijasi iš 8, todėl šį terminą padalijame iš a o kitą paliekame nepaveiktą.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Čia pasilikęs terminas lieka padalijus iš a terminas: (x + 1)
Jei įmanoma, paimkite didžiausią bendrąjį daliklį (gcd) iš vieno ar abiejų terminų. Šiame pavyzdyje matome, kad antrojo termino gcd yra 2, nes 8x + 2 = 2 (4x + 1). Sujunkite šį atsakymą su terminu, kurį atradote ankstesniame žingsnyje. Tai yra jūsų palyginimo veiksniai.

2 (x + 1) (4x + 1)

4 metodas iš 6: skirtumas tarp dviejų kvadratų

Kai kuriuos daugianario koeficientus galite atpažinti kaip „kvadratus“ arba 2 identiškų skaičių sandaugą. Išsiaiškinę, kurie kvadratai yra, galite daug greičiau apskaičiuoti daugianarius. Paimame lygtį:

27x - 12 = 0

Jei įmanoma, pašalinkite gcd iš lygties. Šiuo atveju matome, kad 27 ir 12 dalijasi iš 3, todėl galime juos patalpinti atskirai:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Nustatykite, ar jūsų lygties koeficientai yra kvadratai. Norint naudoti šį metodą, būtina nustatyti terminų šaknį. (Atkreipkite dėmesį, kad praleidome minuso ženklus - kadangi šie skaičiai yra kvadratai, jie gali būti 2 neigiamų skaičių sandauga)

9x = 3x * 3x ir 4 = 2 * 2
Naudodami nustatytą kvadratinę šaknį, dabar galite užrašyti veiksnius. Mes imamės a ir c ankstesnio veiksmo vertės: a = 9 ir c = 4, taigi to šaknys yra: - √a = 3 ir √c = 2. Tai koeficientų išraiškų koeficientai:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

5 metodas iš 6: ABC formulė

Jei atrodo, kad nieko neveikia ir negalite išspręsti lygties, naudokite abc formulę. Paimkite šį pavyzdį:

x + 4x + 1 = 0

Įveskite atitinkamas reikšmes abc formulėje:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Dabar gauname išraišką:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Išspręskite x. Dabar turėtumėte gauti 2 x reikšmes. Šitie yra:

x = -2 + √ (3) arba x = -2 - √ (3)
Norėdami nustatyti veiksnius, naudokite x reikšmes. Įveskite x reikšmes, gautas dviejose lygtyse, kaip konstantas. Tai yra jūsų veiksniai. Jei atsakysime į du h ir k du veiksnius užrašome taip:

(x - h) (x - k)
Šiuo atveju galutinis atsakymas yra toks:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

6 metodas iš 6: skaičiuoklės naudojimas

Jei leidžiama (arba privaloma) naudoti grafikų skaičiuoklę, tai labai palengvina faktoringą, ypač egzaminams ir egzaminams. Šios instrukcijos skirtos TI grafikos skaičiuoklei. Mes naudojame pavyzdžio lygtį:

y = x - x - 2

Įveskite lygtį į savo skaičiuoklę. Naudosite lygčių sprendimą, dar vadinamą ekranu [Y =].
Skaičiuoklėje pavaizduokite lygtį. Įvedę lygtį, paspauskite [GRAPH] - dabar turėtumėte pamatyti kreivą liniją, parabolę kaip grafinį jūsų lygties vaizdą (ir tai yra parabolė, nes mes turime reikalą su daugianario forma).
Raskite, kur parabolė susikerta su x ašimi. Kadangi kvadratinė lygtis tradiciškai rašoma kaip ax + bx + c = 0, tai yra dvi x vertės, dėl kurių lygtis lygi nuliui:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Jei nematote, kur parabolė susikerta su x ašimi, paspauskite [2], tada [TRACE]. Paspauskite [2] arba pasirinkite „nulis“. Perkelkite žymeklį į kairę nuo sankryžos ir paspauskite [ENTER]. Perkelkite žymeklį į sankryžos dešinę ir paspauskite [ENTER]. Perkelkite žymeklį kuo arčiau sankirtos taško ir paspauskite [ENTER]. Skaičiuoklė nurodys x vertę. Atlikite tai ir kitoje sankryžoje.
Įveskite x reikšmes, kurias gavote į dvi faktorių išraiškas. Jei imsime dvi x reikšmes h ir k kaip terminas, mūsų vartojama išraiška atrodo taip:

(x - h) (x - k) = 0
Taigi mūsų du veiksniai tampa:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Patarimai

Jei polinomą apskaičiavote pagal abc formulę, o jūsų atsakyme yra šaknys, galite jas konvertuoti į x reikšmes į trupmenas.
Jei terminas neturi koeficiento, jis yra lygus 1, pvz., X = 1x.
Jei turite TI-84 skaičiuoklę, yra programa, pavadinta SOLVER, kuri gali išspręsti jums kvadratinę lygtį. Taip pat sprendžiami aukštesnio laipsnio polinomai.
Po daugybės praktikos galiausiai galėsite išspręsti polinomus mintinai. Tačiau norint būti saugiam, geriau juos visada išrašyti.
Jei termino nėra, koeficientas yra lygus nuliui. Tada gali būti naudinga perrašyti lygtį. Pvz. x + 6 = x + 0x + 6.

Įspėjimai

Jei mokotės šios sąvokos matematikos pamokoje, atkreipkite dėmesį į tai, ką paaiškina mokytojas, ir naudokite ne tik savo mėgstamą metodą. Gali būti paprašyta naudoti tam tikrą metodą bandymui atlikti, arba grafikų skaičiuotuvai gali būti neleidžiami.