Išspręskite kvadratines lygtis - Patarimai

Turinys

Žingsniai
Patarimas

Kvadratinė lygtis yra vieno kintamojo polinomas, kur 2 yra aukščiausias to kintamojo rodiklis. Yra trys pagrindiniai kvadratinių lygčių sprendimo būdai: 1) jei įmanoma, suskirstykite į faktorius, 2) naudokite kvadratinę formulę arba 3) užpildykite kvadratą. Atlikite šiuos veiksmus, kad sužinotumėte, kaip mokėti naudotis šiais trim metodais.

Žingsniai

1 metodas iš 3: Lygčių analizė pagal veiksnius

Pridėkite visus tuos pačius terminus ir perkelkite juos į vieną lygties pusę. Pirmasis veiksnių analizės žingsnis yra padėti visus jo terminus į šalį, kad jie būtų teigiami. Norėdami sujungti terminus, pridėkite arba atimkite visus terminus, visus, kuriuose yra terminų, ir konstantas (terminai yra sveiki skaičiai), paverskite juos viena puse ir nepalikite nieko kitoje pusėje. Tada kitoje lygybės ženklo pusėje galite parašyti „0“. Štai kaip tai padaryti:
Išanalizuokite išraišką į faktorių. Norėdami suskaičiuoti išraišką, turite naudoti termino, kuriame yra (3), ir konstantos (-4) koeficientus, juos padauginti ir pridėti prie centro termino (-11). . Štai kaip tai padaryti:
- Kadangi yra tik vienas galimas veiksnių rinkinys ir, galite jį perrašyti skliausteliuose taip:
- Tada naudokite redukciją, kad sujungtumėte koeficientus 4, kad surastumėte derinį, kuris padauginus išgauna -11x. Galite naudoti 4 ir 1 arba 2 ir 2, nes jų abiejų sandauga yra 4. Tiesiog atminkite, kad koeficientas turi būti neigiamas, nes mūsų terminas yra -4.
- Taikydami bandymo metodą, mes patikrinsime veiksnių derinį. Kai mes įgyvendiname dauginimą, mes gauname. Sudėkite sąlygas, ir mes turime tikslų vidurinį terminą, kurio siekiame. Taigi mes ką tik atsižvelgėme į kvadratinę funkciją.
- Kaip šio bandymo pavyzdį panagrinėkime klaidingą (neteisingą) derinį: =. Sujungę šias sąlygas gausime. Nors tiesa, kad -2 ir 2 produktai yra lygūs -4, terminas tarp jų nėra teisingas, nes mums jo reikia, o ne.
Tegul kiekviena skliaustuose esanti išraiška yra lygi nuliui kaip atskiros lygtys. Iš ten raskite dvi reikšmes, kad bendra lygtis būtų lygi nuliui = 0. Dabar, kai atsižvelgsite į lygtį, jums tereikės išraišką skliausteliuose pridėti su nuliu. Kodėl? Taip yra todėl, kad nuliui produkto turime „principą, įstatymą ar nuosavybę“, kad koeficientas turi būti lygus nuliui. Todėl bent viena skliausteliuose esanti vertė turi būti lygi nuliui; tai yra (3x + 1) arba (x - 4) turi būti nulis. Taigi mes turime arba.
Kiekvieną iš šių „nulio“ lygčių išspręskite savarankiškai. Kvadratinės lygtys turi du galimus sprendimus. Raskite kiekvieną galimą kintamojo x sprendimą, atskirdami kintamąjį ir užrašydami du jo sprendimus kaip galutinį rezultatą. Štai kaip:
- Išspręskite 3x + 1 = 0
  - Atimkite dvi puses: 3x = -1 .....
  - Padalinkite dvi puses: 3x / 3 = -1/3 .....
  - Sutraukti: x = -1/3 .....
- Išspręskite x - 4 = 0
  - Atimkite dvi puses: x = 4 .....
- Parašykite savo galimus sprendimus: x = (-1/3, 4) ....., tai yra, x = -1/3 arba x = 4 yra teisingi.
Patikrinkite x = -1/3 col (3x + 1) (x - 4) = 0:

Vietoj išraiškos mes turime (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Sutraukti: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Atlikite dauginimą, gausime (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Teisingai, x = -1/3 yra sprendimas lygtis.
Patikrinkite, ar x = 4 coliai (3x + 1) (x - 4) = 0:

Vietoj išraiškos mes turime (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Sutraukti, gauname: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Atlikite dauginimą: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Teisingai, x = 4 yra lygties sprendimas.
- Taigi abu šie galimi sprendimai buvo „išbandyti“ atskirai, ir galima patvirtinti, kad abu išsprendžia problemą ir yra du atskiri tikri sprendimai.
skelbimas

2 metodas iš 3: naudokite kvadratinę formulę

Pridėkite visus tuos pačius terminus ir perkelkite juos į vieną lygties pusę. Konvertuokite visus terminus į vieną lygybės ženklo pusę, kad termine būtų teigiamas ženklas. Perrašykite terminus mažėjančia tvarka, o tai reiškia, kad terminas yra pirmas, paskui ir galiausiai pastovus. Štai kaip:
- 4x - 5x - 13 = x -5
- 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
- 3x - 5x - 8 = 0
Užrašykite savo kvadratinę formulę. Tai yra:
Kvadratinėje lygtyje nustatykite a, b ir c reikšmes. Išeina a yra x koeficientas, b yra x ir koeficientas c yra pastovus. Esant lygčiai 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 ir c = -8. Prašau užsirašyti ant popieriaus.
Prijunkite a, b ir c reikšmes į lygtį. Dabar, kai žinote trijų aukščiau esančių kintamųjų reikšmes, galite juos įtraukti į tokią lygtį:
- {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
- {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
Atlikite skaičiavimus. Kai pakeisite skaičius, atlikite likusį skaičiavimą, kad sumažintumėte teigiamus ar neigiamus ženklus, padaugintumėte arba kvadratuotumėte likusius terminus. Štai kaip:
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Sutraukti kvadratinę šaknį. Jei po radikaliuoju ženklu yra puikus kvadratas, gausite sveiką skaičių. Jei tai nėra tobulas kvadratas, sumažinkite jį iki paprasčiausios radikalios formos. Jei tai neigiama, ir esate tikras, kad tai turėtų būti neigiama, sprendimas bus gana sudėtingas. Šiame pavyzdyje √ (121) = 11. Galėtume parašyti: x = (5 +/- 11) / 6.
Išspręskite teigiamus ir neigiamus sprendimus. Jei pašalinote kvadratinę šaknį, galite tęsti, kol rasite teigiamus ir neigiamus x sprendinius. Dabar, kai turite (5 +/- 11) / 6, galite parašyti dvi parinktis:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Raskite teigiamų ir neigiamų sprendimų. Mes tiesiog turime atlikti skaičiavimą:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Sutraukti. Norėdami sutrumpinti atsakymus, jums tereikia padalyti tiek skaitiklį, tiek modelį iš jų didžiausio bendro daliklio. Padalinkite pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 2, o antrosios trupmenį ir vardiklį - iš 6, ir radote x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
skelbimas

3 metodas iš 3: Užpildykite kvadratą

Perkelkite visus terminus į vieną lygties pusę. Įsitikinti, kad a arba x turi teigiamą ženklą. Štai kaip:
- 2x - 9 = 12x =
- 2x - 12x - 9 = 0
  - Šioje lygtyje a lygus 2, b lygus -12 ir c lygus -9.
Persikėlė toliau c arba pastovus į kitą pusę. Konstantos yra skaitiniai terminai, kuriuose nėra kintamųjų. Perkelkime jį į dešinę lygties pusę:
- 2x - 12x - 9 = 0
- 2x - 12x = 9
Padalinkite abi puses iš koeficientų a arba x koeficientas. Jei x priekyje nėra termino, jo koeficientas yra 1 ir galite praleisti šį veiksmą. Mūsų atveju turėtumėte padalyti visus lygties terminus iš 2, taip:
- 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
- x - 6x = 9/2
Dalintis b po du, kvadratuokite jį ir pridėkite rezultatą į abi puses. Šiame pavyzdyje b lygus -6. Mes darome taip:
- -6/2 = -3 =
- (-3) = 9 =
- x - 6x + 9 = 9/2 + 9
Sutraukti dvi puses. Norėdami atsižvelgti į kairę pusę, turime (x-3) (x-3) arba (x-3). Pridėkite dešinę pusę, kad gautumėte 9/2 + 9 arba 9/2 + 18/2 ir gautumėte 2/27.
Raskite abiejų pusių kvadratinę šaknį. (X-3) kvadratinė šaknis yra (x-3). Kvadratinę šaknį 27/2 galite išreikšti kaip ± √ (27/2). Taigi, x - 3 = ± √ (27/2).
Sugriūti radikalų ženklą ir rasti x. Norėdami sumažinti ± √ (27/2), mes randame kvadratą 27, 2 arba jo koeficientą. Puikus kvadratas 9 yra 27, nes 9x3 = 27. Norėdami pašalinti 9 iš radikalaus ženklo, mes ištraukiame jį ir parašome 3, jo kvadratinę šaknį, be radikalaus ženklo. Likusio koeficiento 3 skaitiklyje negalima pateikti, todėl jis lieka žemiau radikalaus ženklo. Tuo pačiu metu frakcijos mėginyje taip pat paliekame 2. Tada perkelkite pastoviąją 3 kairėje lygties pusėje į dešinę ir užrašykite du sprendimus:
- x = 3 + (√6) / 2
- x = 3 - (√6) / 2)
skelbimas

Patarimas

Kaip matyti, radikalus ženklas visiškai neišnyksta. Todėl skaitiklio terminai negali būti kaupiamieji (nes jie nėra tos pačios savybės terminai). Todėl pliuso arba minuso dalijimas yra beprasmis. Vietoj to galime suskirstyti visus bendrus veiksnius, bet TIK kai pastovus IR Bet kurio radikalo koeficientuose taip pat yra tas faktorius.
Jei radikalus ženklas nėra tobulas kvadratas, paskutinius kelis žingsnius galima žengti šiek tiek kitaip. Toks kaip:
Jei „b“ yra lyginis skaičius, formulė būtų: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.