Turinys

• Žingsniai
• Patarimas

Greitis apibrėžiamas kaip objekto greitis tam tikra kryptimi. Daugeliu atvejų, norėdami rasti greitį, naudosime lygtį v = s / t, kur v yra greitis, s yra bendras objekto poslinkio atstumas nuo pradinės padėties, o t - laikas, kurio reikia objektui keliauti. eik iki galo. Tačiau teoriškai ši formulė skirta tik greičiui vidutinis dalykų kelyje. Apskaičiuojant objekto greitį bet kuriuo momentu per atstumą. Tai yra Transportavimo laikas ir apibrėžiamas lygtimi v = (ds) / (dt), arba, kitaip tariant, tai yra vidutinio greičio lygties išvestinė.

Žingsniai

1 dalis iš 3: Apskaičiuokite momentinį greitį

1. 

   
   
   Pradėkite nuo greičio pagal poslinkio atstumą skaičiavimo lygties. Norėdami rasti momentinį greitį, pirmiausia turime turėti lygtį, nurodančią objekto padėtį (poslinkio atžvilgiu) bet kuriuo momentu. Tai reiškia, kad lygtis turi turėti tik vieną kintamąjį S iš vienos pusės ir pasukite t kitoje pusėje (nebūtinai tik vienas kintamasis), pavyzdžiui:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • Šioje lygtyje kintamieji yra:

     s = poslinkis. Atstumas, kurį objektas pajudėjo iš pradinės padėties. Pavyzdžiui, jei objektas gali nueiti 10 metrų į priekį ir 7 metrus atgal, jo bendras atstumas yra 10 - 7 = 3 metrai (ne 10 + 7 = 17m).

     t = laikas. Šis kintamasis yra paprastas be paaiškinimo, paprastai matuojamas sekundėmis.

2. 

   
   
   Paimkime lygties išvestinę. Lygties išvestinė yra dar viena lygtis, rodanti atstumo nuolydį tam tikru laiku. Norėdami rasti lygties išvestį pagal poslinkio atstumą, apskaičiuokite išvestinę atsižvelgdami į funkcijos skirtumą pagal šią bendrą taisyklę: Jei y = a * x, išvestinė = a * n * x. Tai taikoma visiems lygties „t“ pusėje esantiems terminams.
   • Kitaip tariant, pradėkite gauti diferencialą iš kairės į dešinę lygties „t“ pusėje. Kai tik susiduriate su kintamuoju „t“, atimkite rodiklį iš 1 ir padauginkite terminą iš pradinio rodiklio. Visi pastovūs terminai (terminai be „t“) išnyks, nes jie padauginami iš 0. Procesas iš tikrųjų nėra toks sunkus, kaip jūs manote - pavyzdžiu paimkime aukščiau pateikto žingsnio lygtį:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Pakeiskite „s“ į „ds / dt“. Norėdami parodyti, kad naujoji lygtis yra pirminio kvadrato išvestinė, „s“ pakeičiame simboliu „ds / dt“. Teoriškai šis žymėjimas yra „s vedinys t atžvilgiu“. Paprastesnis būdas suprasti šią žymėjimą, ds / dt yra bet kurio pradinės lygties taško nuolydis. Pavyzdžiui, norėdami rasti atstumo, aprašyto lygtyje s = -1,5t + 10t + 4, nuolydį t = 5 metu, t pakeičiame „5“ lygties išvestinėje.
   • Ankstesniame pavyzdyje lygties išvestinė atrodo taip:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Norėdami rasti momentinį greitį, pakeiskite t reikšmę į naują lygtį. Dabar, kai turime išvestinę lygtį, rasti momentinį greitį bet kuriuo momentu yra labai lengva. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai pasirinkti t reikšmę ir pakeisti ją išvestine lygtimi. Pvz., Jei norime rasti momentinį greitį, kai t = 5, tiesiog turime pakeisti t reikšmę „5“ išvestinės lygtyje ds / dt = -3t + 10. Mes išspręsime tokią lygtį:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 metrai per sekundę

   • Atkreipkite dėmesį, kad mes naudojame aukščiau pateiktą vienetą „metrai per sekundę“.Kadangi mes išsprendžiame poslinkio metrais ir laiko sekundėmis problemą, kur greitis yra būtent poslinkis laike, šis vienetas yra tinkamas.
   skelbimas

2 dalis iš 3: Akimirkinio greičio įvertinimas grafiškai

1. 

   Nubraižykite objekto judėjimo atstumą bėgant laikui. Ankstesniame skyriuje mes pasakėme, kad išvestinė yra taip pat formulė, leidžianti rasti nuolydį bet kuriame iš išvestinės paimtos lygties taške. Tiesą sakant, jei grafike parodote judantį objekto atstumą, Grafiko nuolydis bet kuriame taške yra momentinis objekto greitis tame taške.
   • Norėdami grafikuoti judesio atstumus, naudokite x ašį laikui, o y ašį - poslinkiui. Tada nustatote taškų skaičių, įjungdami t reikšmes į judesio lygtį, rezultatas yra s reikšmės, o grafike pažymite taškus t, s (x, y).
   • Atkreipkite dėmesį, kad diagrama gali būti žemiau x ašies. Jei linija, rodanti objekto judėjimą, eina žemyn x ašimi, tai reiškia, kad objektas juda atgal nuo pradinės padėties. Apskritai, grafikas nepasitrauks už y ašies - mes paprastai nematuojame objektų, judančių atgal laiku, greičio!

2. 

   Grafike pasirinkite tašką P ir tašką Q, esantį šalia taško P. Norėdami rasti grafiko nuolydį taške P, naudojame „ribų radimo“ techniką. Rasti ribą reiškia kreivėje paimti du taškus (P ir Q (taškas šalia P)) ir surasti tuos du taškus jungiančios tiesės nuolydį, pakartojant šį procesą, kai atstumas tarp P ir Q trumpėja. palaipsniui.
   • Tarkime, kad poslinkio atstumas turi taškus (1; 3) ir (4; 7). Tokiu atveju, jei norime rasti nuolydį ties (1; 3), tada galime nustatyti (1; 3) = P ir (4; 7) = Q.

3. 

   Raskite nuolydį tarp P ir Q. Šlaitas tarp P ir Q yra y reikšmių P ir Q skirtumas tarp P ir Q x verčių skirtumo. Kitaip tariant, H = (y_Klausimas - y_P) / (x_Klausimas - x_P), kur H yra nuolydis tarp dviejų taškų. Šiame pavyzdyje nuolydis tarp P ir Q yra:
   

   H = (y_Klausimas - y_P) / (x_Klausimas - x_P)
   H = (7–3) / (4–1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Pakartokite kelis kartus, priartindami Q arčiau P. Tikslas yra susiaurinti atstumą tarp P ir Q, kol jie pasieks vieną tašką. Kuo mažesnis atstumas tarp P ir Q, tuo artimesnis be galo mažo segmento nuolydis bus nuolydyje taške P. Pakartokite keletą kartų mūsų pavyzdinei lygčiai, naudodami taškus (2; 4 , 8), (1,5; 3,95) ir (1,25; 3,49) suteikia Q, o pradinės P koordinatės yra (1; 3):
   

   Q = (2; 4,8): H = (4,8–3) / (2–1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Įvertina ypač mažo segmento nuolydį grafiko kreivėje. Kai Q artėja vis arčiau P, H palaipsniui artės prie nuolydžio ties P. Galiausiai, ties labai maža tiese, H bus nuolydis ties P. Kadangi mes negalime išmatuoti ar apskaičiuoti Tiesės ilgis yra labai mažas, todėl įvertinkite nuolydį ties P tik tada, kai jis aiškiai matomas iš mūsų apskaičiuotų taškų.
   • Ankstesniame pavyzdyje, kai mes judame H arčiau P, mes turime H reikšmes 1,8; 1,9 ir 1,96. Kadangi šie skaičiai artėja prie 2, galime pasakyti 2 yra apytikslė nuolydžio ties P verte.
   • Atminkite, kad nuolydis bet kuriame grafo taške yra grafiko lygties išvestis toje vietoje. Kadangi grafike parodytas objekto poslinkis per tam tikrą laiką, kaip matėme ankstesniame skyriuje, jo momentinis greitis bet kuriame taške yra objekto poslinkio atstumo probleminiame taške išvestinė. Prieiga, mes galime pasakyti 2 metrai / sek yra apytikslis momentinio greičio įvertis, kai t = 1.
   skelbimas

3 dalis iš 3: Imties problema

1. 

   Raskite momentinį greitį, kai t = 1, su poslinkio lygtimi s = 5t - 3t + 2t + 9. Kaip ir pirmame skyriuje pateiktas pavyzdys, tačiau tai yra kubinis, o ne kvadratinis, todėl problemą galime išspręsti taip pat.
   • Pirmiausia paimkite lygties išvestinę:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Tada pakeičiame t (4) reikšmę:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 metrai per sekundę

2. 

   Naudokite grafiko įvertinimo metodą, kad rastumėte momentinį greitį ties (1; 3) poslinkio lygčiai s = 4t - t. Šiai problemai mes naudojame koordinates (1; 3) kaip tašką P, tačiau turime rasti kitus šalia jo esančius Q taškus. Tada mums tereikia rasti H reikšmes ir išvesti numatomą vertę.
   • Pirmiausia randame Q taškus, kai t = 2; 1,5; 1.1 ir 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, taigi Q = (2; 14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, taigi Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, taigi Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, taigi viskas Q = (1,01; 3,0704)

   • Tada gausime H reikšmes:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3,0704–3) / (1,01–1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Kadangi atrodo, kad H reikšmės yra arčiau 7, galime tai pasakyti 7 metrai per sekundę yra apytikslis momentinio greičio įvertinimas koordinatėje (1; 3).
   skelbimas

Patarimas

• Norėdami rasti pagreitį (greičio pokytis laikui bėgant), naudokite pirmosios dalies metodą, kad gautumėte poslinkio lygties išvestinę. Tada dar kartą paimkite darinį iš ką tik rastos išvestinės lygties. Rezultatas yra tas, kad turite pagreičio lygtį tam tikru laiko momentu - tereikia prijungti laiką.
• Lygtis, rodanti santykį tarp Y (poslinkio atstumas) ir X (laikas), gali būti labai paprasta, nes Y = 6x + 3. Šiuo atveju nuolydis yra pastovus ir nereikia imtis darinys nuolydžiui apskaičiuoti, tai yra, jis atliekamas pagal linijinio grafo pagrindinę lygties formą Y = mx + b, ty nuolydis lygus 6.
• Poslinkio atstumas yra panašus į atstumą, tačiau turi kryptį, taigi jis yra vektorinis dydis, o greitis - skaliarinis dydis. Kelionės atstumai gali būti neigiami, o atstumai gali būti tik teigiami.