Turinys

• Žingsniai
• 1 dalis iš 3: Faktoringo binomijos
• 2 dalis iš 3: Faktoringo dvejetainiai sprendžiant lygtis
• 3 dalis iš 3: Sudėtingų problemų sprendimas
• Patarimai
• Įspėjimai

Binominis (binominis) yra matematinė išraiška su dviem terminais, tarp kurių yra pliuso arba minuso ženklas, pvz. ${ displaystyle ax + b}$... Pirmasis narys apima kintamąjį, o antrasis - arba neįtraukia. Faktorizuojant binomiją reikia surasti terminus, kurie padauginus sukuria originalų binomialą, kad jį išspręstų ar supaprastintų.

Žingsniai

1 dalis iš 3: Faktoringo binomijos

1. 1 Suprasti faktoringo proceso pagrindus. Faktorizuojant dvejetainį, iš skliaustelio pašalinamas koeficientas, kuris yra kiekvieno pradinio dvejetainio nario daliklis. Pavyzdžiui, skaičius 6 visiškai dalijasi iš 1, 2, 3, 6. Taigi skaičiaus 6 dalikliai yra skaičiai 1, 2, 3, 6.
   • Dalikliai 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Bet kurio skaičiaus dalikliai yra 1 ir pats skaičius. Pavyzdžiui, dalikliai iš 3 yra 1 ir 3.
   • Sveikų skaičių dalikliai gali būti tik sveikieji skaičiai. Skaičių 32 galima padalyti iš 3,564 arba 21,4952, tačiau gausite ne sveiką skaičių, o dešimtainę trupmeną.
2. 2 Užsisakykite binomialo sąlygas, kad palengvintumėte faktoringo procesą. Dvejetainis yra dviejų terminų, kurių bent vienas turi kintamąjį, suma arba skirtumas. Kartais kintamieji pakeliami iki galios, pvz. ${ displaystyle x ^ {2}}$ arba ${ displaystyle 5 metai ^ {4}}$... Binomialo terminus geriau užsisakyti didėjančia eksponentų tvarka, tai yra, terminas su mažiausiu rodikliu rašomas pirmas, o didžiausias - paskutinis. Pavyzdžiui:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Atkreipkite dėmesį į minuso ženklą prieš 2. Jei terminas atimamas, prieš jį parašykite minuso ženklą.
3. 3 Raskite didžiausią bendrą abiejų terminų daliklį (GCD). GCD yra didžiausias skaičius, iš kurio dalijami abu binomialo nariai. Norėdami tai padaryti, suraskite dvejetainėje kiekvieno termino daliklius, tada pasirinkite didžiausią bendrą daliklį. Pavyzdžiui:
   • Užduotis:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Dalikliai 3: 1, 3
     • Dalikliai 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Padalinkite kiekvieną binominio termino didžiausią bendrąjį daliklį (GCD). Padarykite tai, kad pašalintumėte GCD. Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas dvejetainio narys mažėja (nes jis dalijamas), tačiau jei GCD neįtraukiamas į skliaustus, galutinė išraiška bus lygi pradinei.
   • Užduotis:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Raskite GCD: 3
   • Padalinkite kiekvieną dvejetainį terminą iš gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Perkelkite daliklį iš skliaustų. Anksčiau jūs padalijote abi binomialo sąlygas iš daliklio 3 ir gavote ${ displaystyle t + 2}$... Bet jūs negalite atsikratyti 3 - kad pradinės ir galutinės išraiškos reikšmės būtų vienodos, turite 3 uždėti už skliaustelių ir skliausteliuose parašyti išraišką, gautą padalijus. Pavyzdžiui:
   • Užduotis:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Raskite GCD: 3
   • Padalinkite kiekvieną dvejetainį terminą iš gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Padauginkite daliklį iš gautos išraiškos:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Atsakymas: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Patikrinkite savo atsakymą. Norėdami tai padaryti, padauginkite terminą prieš skliaustus iš kiekvieno skliausteliuose esančio termino. Jei gausite originalų dvejetainį, sprendimas yra teisingas. Dabar išspręskite problemą ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Užsisakykite narius:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Raskite GCD:${ displaystyle 6}$
   • Padalinkite kiekvieną dvejetainį terminą iš gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Padauginkite daliklį iš gautos išraiškos:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Patikrinkite atsakymą:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

2 dalis iš 3: Faktoringo dvejetainiai sprendžiant lygtis

1. 1 Faktorizuokite dvejetainį, kad jį supaprastintumėte ir išspręstumėte lygtį. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad neįmanoma išspręsti kai kurių lygčių (ypač naudojant sudėtingus dvejetainius). Pavyzdžiui, išspręskite lygtį ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Šioje lygtyje yra galių, todėl pirmiausia įvertinkite išraišką.
   • Užduotis:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Atminkite, kad binomas turi du narius. Jei išraiška apima daugiau terminų, sužinokite, kaip išspręsti daugianarius.
2. 2 Prie abiejų lygties pusių pridėkite arba atimkite šiek tiek monomų, kad vienoje lygties pusėje liktų nulis. Faktorizavimo atveju lygčių sprendimas grindžiamas nekintamu faktu, kad bet kokia išraiška, padauginta iš nulio, yra lygi nuliui. Todėl, jei lygtį prilyginame nuliui, tai bet kuris jos veiksnys turi būti lygus nuliui. Vieną lygties pusę nustatykite į 0.
   • Užduotis:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Nustatykite į nulį:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Įvertinkite gautą dėžę. Atlikite tai, kaip aprašyta ankstesniame skyriuje. Raskite didžiausią bendrąjį koeficientą (GCD), padalinkite iš jo abu binominio skaičiaus terminus ir perkelkite koeficientą iš skliaustų.
   • Užduotis:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Nustatykite į nulį:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktorius:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Kiekvieną veiksnį nustatykite į nulį. Gautoje išraiškoje 2y padauginamas iš 4 - y, ir šis produktas yra lygus nuliui. Kadangi bet kuri išraiška (ar terminas), padauginta iš nulio, yra lygi nuliui, tada 2y arba 4 - y yra 0. Nustatykite gautą monominę ir binominę nulį, kad rastumėte „y“.
   • Užduotis:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Nustatykite į nulį:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktorius:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Nustatykite abu veiksnius į 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Išspręskite gautas lygtis, kad surastumėte galutinį atsakymą (arba atsakymus). Kadangi kiekvienas veiksnys lygus nuliui, lygtis gali turėti kelis sprendimus. Mūsų pavyzdyje:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Patikrinkite savo atsakymą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite nustatytas vertes į pradinę lygtį. Jei lygybė teisinga, sprendimas teisingas. Pakeiskite rastas vertes vietoj „y“. Mūsų pavyzdyje y = 0 ir y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Tai teisingas sprendimas
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Ir tai yra teisingas sprendimas

3 dalis iš 3: Sudėtingų problemų sprendimas

1. 1 Atminkite, kad terminas su kintamuoju taip pat gali būti faktorizuojamas, net jei kintamasis padidinamas iki galios. Faktoringo metu turite rasti monomialą, kuris integraliai padalija kiekvieną dvinario narį. Pavyzdžiui, monomija ${ displaystyle x ^ {4}}$ galima faktorizuoti ${ displaystyle x * x * x * x}$... Tai yra, jei antrajame dvejetainio naryje taip pat yra kintamasis „x“, tada „x“ galima išimti iš skliaustų. Taigi kintamuosius laikykite sveikais skaičiais. Pavyzdžiui:
   • Abu binomialo nariai ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ yra „t“, todėl „t“ galima išimti iš skliaustų: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Be to, kintamasis, padidintas iki galios, gali būti išimtas iš skliaustų. Pavyzdžiui, abu binomialo nariai ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ turėti ${ displaystyle x ^ {2}}$, taigi ${ displaystyle x ^ {2}}$ galima išimti iš laikiklio: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Pridėkite arba atimkite panašius terminus, kad gautumėte dvejetainį. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Iš pirmo žvilgsnio tai yra daugianaris, tačiau iš tikrųjų šią išraišką galima paversti binomine. Pridėkite panašius terminus: 6 ir 14 (be kintamojo) ir 2x ir 3x (turi tą patį kintamąjį „x“). Tokiu atveju faktoringo procesas bus supaprastintas:
   • Originali išraiška:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Užsisakykite narius:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Pridėkite panašių terminų:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Raskite GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktorius:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Įvertinkite tobulų kvadratų skirtumą. Tobulas kvadratas yra skaičius, kurio kvadratinė šaknis yra, pavyzdžiui, sveikasis skaičius ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ Ir netgi ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Pavyzdžiui, jei dvejetainis yra tobulų kvadratų skirtumas, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, tada jis faktorizuojamas pagal formulę:
   • Kvadratų formulės skirtumas:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Užduotis:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Ištraukite kvadratines šaknis:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Rastas vertes pakeiskite į formulę: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Įvertinkite skirtumą tarp pilnų kubelių. Jei dvejetainis yra pilnų kubelių skirtumas, pvz. ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, tada jis faktorizuojamas naudojant specialią formulę. Šiuo atveju būtina išgauti kubo šaknį iš kiekvieno dvejetainio nario ir pakeisti gautas vertes į formulę.
   • Kubelių skirtumo formulė:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Užduotis:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Ištraukite kubines šaknis:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Rastas vertes pakeiskite į formulę: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Išskaičiuokite visų kubelių sumą. Skirtingai nuo tobulų kvadratų sumos, pvz., Pilnų kubelių suma, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, galima suskirstyti į veiksnius naudojant specialią formulę. Tai panašu į kubelių skirtumo formulę, tačiau ženklai yra atvirkščiai. Formulė yra gana paprasta - norėdami ją naudoti, suraskite uždavinyje pilnų kubelių sumą.
   • Kubelių sumos formulė:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Užduotis:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Ištraukite kubines šaknis:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Rastas vertes pakeiskite į formulę: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Patarimai

• Kartais binominiai nariai neturi bendro daliklio. Kai kurių užduočių metu nariai pateikiami supaprastinta forma.
• Jei nerandate GCD iš karto, pirmiausia padalinkite iš mažų skaičių. Pavyzdžiui, jei nematote, kad skaičių 32 ir 16 GCD yra 16, padalinkite abu skaičius iš 2. Gausite 16 ir 8; šiuos skaičius galima padalyti iš 8. Dabar gausite 2 ir 1; šių skaičių negalima sumažinti. Taigi akivaizdu, kad yra didesnis skaičius (palyginti su 8 ir 2), kuris yra bendras dviejų nurodytų skaičių daliklis.
• Atminkite, kad šeštosios eilės terminai (pvz., X 6), yra ir tobuli kvadratai, ir tobuli kubai. Taigi dvejetainiams, turintiems šeštosios eilės terminus, pavyzdžiui, x - 64, galima taikyti (bet kokia tvarka) kvadratų ir kubelių skirtumo formules. Bet geriau pirmiausia pritaikyti kvadratų skirtumo formulę, kad būtų teisingiau suyra su dvejetainiu.

Įspėjimai

• Dvinario, kuris yra tobulų kvadratų suma, negalima suskirstyti į veiksnius.