Turinys

• Žingsniai
• 1 metodas iš 3: Kaip išspręsti kubinę lygtį be pastovaus termino
• 2 metodas iš 3: kaip rasti visas šaknis naudojant daugiklius
• 3 metodas iš 3: kaip išspręsti lygtį naudojant diskriminantą

Kubinėje lygtyje didžiausias rodiklis yra 3, tokia lygtis turi 3 šaknis (sprendinius) ir turi formą ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Kai kurias kubines lygtis išspręsti nėra taip paprasta, tačiau jei pritaikysite tinkamą metodą (turėdami gerą teorinį pagrindą), galite rasti net sudėtingiausių kubinių lygčių šaknis - tam naudokite kvadratinės lygties sprendimo formulę. visas šaknis arba apskaičiuoti diskriminantą.

Žingsniai

1 metodas iš 3: Kaip išspręsti kubinę lygtį be pastovaus termino

1. 1 Sužinokite, ar kubinėje lygtyje yra laisvas terminas d{ displaystyle d}. Kubinė lygtis turi formą ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Kad lygtis būtų laikoma kubine, pakanka tik termino ${ displaystyle x ^ {3}}$ (tai yra, kitų narių gali išvis nebūti).
   • Jei lygtis turi laisvą terminą ${ displaystyle d}$, naudokite kitą metodą.
   • Jei lygtyje ${ displaystyle a = 0}$, jis nėra kubinis.
2. 2 Išimkite iš skliaustų x{ displaystyle x}. Kadangi lygtyje nėra laisvo termino, kiekvienas lygties terminas apima kintamąjį ${ displaystyle x}$... Tai reiškia, kad vienas ${ displaystyle x}$ gali būti išbrauktas iš skliaustelių, kad būtų supaprastinta lygtis. Taigi lygtis bus parašyta taip: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Pavyzdžiui, duota kubinė lygtis ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Išimkite ${ displaystyle x}$ skliausteliuose ir gauti ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Faktorius (dviejų dvejetainių sandauga) kvadratinė lygtis (jei įmanoma). Daug kvadratinių formos lygčių ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ galima faktorizuoti. Tokia lygtis paaiškės, jei išimsime ${ displaystyle x}$ už skliaustų. Mūsų pavyzdyje:
   • Išimkite iš skliaustų ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Faktorius kvadratinė lygtis: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Kiekvieną šiukšliadėžę prilyginkite ${ displaystyle 0}$... Šios lygties šaknys yra ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Išspręskite kvadratinę lygtį naudodami specialią formulę. Padarykite tai, jei kvadratinės lygties neįmanoma suskirstyti į veiksnius. Norėdami rasti dvi lygties šaknis, koeficientų reikšmes ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ pakaitalas formulėje ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Mūsų pavyzdyje pakeiskite koeficientų reikšmes ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) į formulę:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Pirmoji šaknis:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Antroji šaknis:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Naudokite nulines ir kvadratines šaknis kaip kubinės lygties sprendimus. Kvadratinės lygtys turi dvi šaknis, kubinės - tris. Jūs jau radote du sprendimus - tai kvadratinės lygties šaknys. Jei įdėsite „x“ už skliaustų, trečias sprendimas būtų ${ displaystyle 0}$.
   • Jei iš skliaustelių ištrauksite „x“, gausite ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, tai yra du veiksniai: ${ displaystyle x}$ ir kvadratinė lygtis skliausteliuose. Jei kuris nors iš šių veiksnių yra ${ displaystyle 0}$, visa lygtis taip pat lygi ${ displaystyle 0}$.
   • Taigi, dvi kvadratinės lygties šaknys yra kubinės lygties sprendiniai. Trečias sprendimas yra ${ displaystyle x = 0}$.

2 metodas iš 3: kaip rasti visas šaknis naudojant daugiklius

1. 1 Įsitikinkite, kad kubinėje lygtyje yra laisvas terminas d{ displaystyle d}. Jei formos lygtyje ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ yra laisvas narys ${ displaystyle d}$ (kuris nėra lygus nuliui), nepavyks įdėti „x“ už skliaustų. Tokiu atveju naudokite šiame skyriuje aprašytą metodą.
   • Pavyzdžiui, duota kubinė lygtis ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Norėdami gauti nulį dešinėje lygties pusėje, pridėkite ${ displaystyle 6}$ į abi lygties puses.
   • Lygtis paaiškės ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Kaip ${ displaystyle d = 6}$, pirmame skyriuje aprašyto metodo naudoti negalima.
2. 2 Užsirašykite koeficiento veiksnius a{ displaystyle a} ir laisvas narys d{ displaystyle d}. Tai yra, raskite skaičiaus veiksnius ${ displaystyle x ^ {3}}$ ir skaičiai prieš lygybės ženklą. Prisiminkite, kad skaičiaus veiksniai yra skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas tas skaičius.
   • Pavyzdžiui, norint gauti numerį 6, reikia padauginti ${ displaystyle 6 kartų 1}$ ir ${ displaystyle 2 kartų 3}$... Taigi skaičiai 1, 2, 3, 6 yra skaičiaus veiksniai 6.
   • Mūsų lygtyje ${ displaystyle a = 2}$ ir ${ displaystyle d = 6}$... Daugikliai 2 yra 1 ir 2... Daugikliai 6 yra skaičiai 1, 2, 3 ir 6.
3. 3 Padalinkite kiekvieną veiksnį a{ displaystyle a} kiekvienam veiksniui d{ displaystyle d}. Dėl to gausite daug trupmenų ir keletą sveikųjų skaičių; kubinės lygties šaknys bus vienas iš sveikųjų skaičių arba neigiama vieno iš sveikųjų skaičių reikšmė.
   • Mūsų pavyzdyje padalinkite veiksnius ${ displaystyle a}$ (1 ir 2) pagal veiksnius ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 ir 6). Gausite: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ ir ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Dabar į šį sąrašą įtraukite neigiamas gautų trupmenų ir skaičių reikšmes: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ ir ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Visos kubinės lygties šaknys yra keletas šio sąrašo skaičių.
4. 4 Prijunkite sveikus skaičius į kubinę lygtį. Jei lygybė teisinga, pakeistas skaičius yra lygties šaknis. Pavyzdžiui, lygtyje pakeiskite ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, tai yra, lygybės nesilaikoma. Tokiu atveju įveskite kitą numerį.
   • Pakaitinis ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Taigi, ${ displaystyle -1}$ yra visa lygties šaknis.
5. 5 Naudokite daugianarių padalijimo iš Hornerio schemagreičiau rasti lygties šaknis. Padarykite tai, jei nenorite rankiniu būdu pakeisti skaičių į lygtį. Hornerio schemoje sveikieji skaičiai dalijami iš lygties koeficientų reikšmių ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ ir ${ displaystyle d}$... Jei skaičiai dalijami tolygiai (tai yra likusi dalis ${ displaystyle 0}$), sveikasis skaičius yra lygties šaknis.
   • Hornerio schema nusipelno atskiro straipsnio, tačiau toliau pateiktas pavyzdys, kaip apskaičiuoti vieną iš mūsų kubinės lygties šaknų naudojant šią schemą:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Taigi likusi dalis yra ${ displaystyle 0}$, bet ${ displaystyle -1}$ yra viena iš lygties šaknų.

3 metodas iš 3: kaip išspręsti lygtį naudojant diskriminantą

1. 1 Užsirašykite lygties koeficientų reikšmes a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, c{ displaystyle c} ir d{ displaystyle d}. Rekomenduojame iš anksto užsirašyti nurodytų koeficientų reikšmes, kad ateityje nesusipainiotumėte.
   • Pavyzdžiui, atsižvelgiant į lygtį ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Užsirašyti ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ ir ${ displaystyle d = -1}$... Prisiminkite, kad jei anksčiau ${ displaystyle x}$ nėra skaičiaus, atitinkamas koeficientas vis dar egzistuoja ir yra lygus ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Naudodami specialią formulę apskaičiuokite nulinį diskriminantą. Norėdami išspręsti kubinę lygtį naudodami diskriminantą, turite atlikti keletą sunkių skaičiavimų, tačiau jei teisingai atliksite visus veiksmus, šis metodas taps būtinas norint išspręsti sudėtingiausias kubines lygtis. Pirmiausia apskaičiuokite ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (nulinis diskriminatorius) yra pirmoji mums reikalinga vertė; Norėdami tai padaryti, pakeiskite atitinkamas formulės reikšmes ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Diskriminantas yra skaičius, apibūdinantis daugianario šaknis (pavyzdžiui, kvadratinės lygties diskriminantas apskaičiuojamas pagal formulę ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Mūsų lygtyje:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Apskaičiuokite pirmąjį diskriminuojantį pagal formulę Δ1=2b3−9abc+27a2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Pirmasis diskriminatorius ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - tai antra svarbi vertė; Norėdami jį apskaičiuoti, prijunkite atitinkamas vertes į nurodytą formulę.
   • Mūsų lygtyje:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Apskaičiuoti:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Tai yra, suraskite kubinės lygties diskriminantą per gautas vertes ${ displaystyle Delta _ {0}}$ ir ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Jei kubinės lygties diskriminantas teigiamas, lygtis turi tris šaknis; jei diskriminantas lygus nuliui, lygtis turi vieną ar dvi šaknis; jei diskriminantas yra neigiamas, lygtis turi vieną šaknį.
   • Kubinė lygtis visada turi bent vieną šaknį, nes šios lygties grafikas bent viename taške kerta X ašį.
   • Mūsų lygtyje ${ displaystyle Delta _ {0}}$ ir ${ displaystyle Delta _ {1}}$ yra lygūs ${ displaystyle 0}$, todėl galite lengvai apskaičiuoti ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Taigi, mūsų lygtis turi vieną ar dvi šaknis.

5. 5 Apskaičiuoti:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } dešinėje) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - tai paskutinis svarbus kiekis, kurį reikia rasti; tai padės apskaičiuoti lygties šaknis. Pakeiskite reikšmes į nurodytą formulę ${ displaystyle Delta _ {1}}$ ir ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Mūsų lygtyje:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Raskite tris lygties šaknis. Padarykite tai pagal formulę ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, kur ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, bet n yra lygus 1, 2 arba 3... Pakeiskite atitinkamas vertes į šią formulę - dėl to gausite tris lygties šaknis.
   • Apskaičiuokite vertę naudodami formulę n = 1, 2 arba 3ir tada patikrinkite atsakymą. Jei patikrinę atsakymą gausite 0, ši vertė yra lygties šaknis.
   • Mūsų pavyzdyje pakaitalas 1 į ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ ir gauti 0, t.y 1 yra viena iš lygties šaknų.