Turinys

• Žingsniai

Trigonometrinėje lygtyje yra viena ar daugiau kintamojo „x“ (arba bet kurio kito kintamojo) trigonometrinių funkcijų. Išsprendus trigonometrinę lygtį, randama tokia reikšmė „x“, kuri atitinka funkciją (-as) ir lygtį kaip visumą.

• Trigonometrinių lygčių sprendiniai išreiškiami laipsniais arba radianais. Pavyzdžiai:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 laipsnių; x = 37,12 laipsnių; x = 178,37 laipsnių.

• Pastaba: trigonometrinių funkcijų reikšmės iš kampų, išreikštų radianais, ir iš kampų, išreikštų laipsniais, yra lygios. Trigonometrinis apskritimas, kurio spindulys lygus vienam, naudojamas trigonometrinėms funkcijoms apibūdinti, taip pat tikrinti pagrindinių trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimo teisingumą.
• Trigonometrinių lygčių pavyzdžiai:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Trigonometrinis apskritimas, kurio spindulys yra vienas (apskritimo vienetas).
   • Tai apskritimas, kurio spindulys lygus vienam, o centras taške O. Vieneto apskritimas apibūdina 4 pagrindines kintamojo „x“ trigonometrines funkcijas, kur „x“ yra kampas, matuojamas nuo teigiamos X ašies krypties prieš laikrodžio rodyklę.
   • Jei „x“ yra kampas vieneto apskritime, tada:
   • Horizontali ašis OAx apibrėžia funkciją F (x) = cos x.
   • Vertikali ašis OBy apibrėžia funkciją F (x) = sin x.
   • Vertikali ašis AT apibrėžia funkciją F (x) = tan x.
   • Horizontali ašis BU apibrėžia funkciją F (x) = ctg x.

• Vienetinis apskritimas taip pat naudojamas pagrindinėms trigonometrinėms lygtims ir nelygybėms spręsti (jame atsižvelgiama į skirtingas „x“ pozicijas).

Žingsniai

1. 1 Trigonometrinių lygčių sprendimo samprata.
   • Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, konvertuokite ją į vieną ar kelias pagrindines trigonometrines lygtis. Išsprendus trigonometrinę lygtį, reikia išspręsti keturias pagrindines trigonometrines lygtis.
2. 2 Pagrindinių trigonometrinių lygčių sprendimas.
   • Yra 4 pagrindinių trigonometrinių lygčių tipai:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Norint išspręsti pagrindines trigonometrines lygtis, reikia pažvelgti į skirtingas x padėtis vieneto apskritime ir naudoti konversijų lentelę (arba skaičiuotuvą).
   • 1 pavyzdys. X x = 0,866. Naudodami konversijų lentelę (arba skaičiuotuvą), gausite atsakymą: x = π / 3. Vienetinis apskritimas pateikia kitą atsakymą: 2π / 3. Atminkite: visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės, tai yra, jų vertės kartojamos. Pavyzdžiui, sin x ir cos x periodiškumas yra 2πn, o tg x ir ctg x - πn. Todėl atsakymas parašytas taip:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Pavyzdys 2.cos x = -1/2. Naudodami konversijų lentelę (arba skaičiuotuvą) gausite atsakymą: x = 2π / 3. Vienetinis apskritimas pateikia kitą atsakymą: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • 3. pavyzdys. Tg (x - π / 4) = 0.
   • Atsakymas: x = π / 4 + πn.
   • 4 pavyzdys. Ctg 2x = 1,732.
   • Atsakymas: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformacijos, naudojamos trigonometrinėms lygtims spręsti.
   • Norint transformuoti trigonometrines lygtis, naudojamos algebrinės transformacijos (faktorizavimas, vienarūšių terminų sumažinimas ir kt.) Ir trigonometrinės tapatybės.
   • 5 pavyzdys. Naudojant trigonometrinius tapatumus, lygtis sin x + sin 2x + sin 3x = 0 transformuojama į lygtį 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Taigi, jums reikia išspręskite šias pagrindines trigonometrines lygtis: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Kampų radimas iš žinomų funkcijų reikšmių.
   • Prieš mokydamiesi trigonometrinių lygčių sprendimo metodų, turite išmokti rasti kampus iš žinomų funkcijų reikšmių. Tai galima padaryti naudojant konversijų lentelę arba skaičiuotuvą.
   • Pavyzdys: cos x = 0,732. Skaičiuotuvas duos atsakymą x = 42,95 laipsnių. Vienetinis apskritimas suteiks papildomų kampų, kurių kosinusas taip pat yra 0,732.
5. 5 Padėkite tirpalą ant vieneto apskritimo.
   • Vienetų apskritime galite atidėti trigonometrinės lygties sprendimus. Vieneto apskritimo trigonometrinės lygties sprendiniai yra taisyklingo daugiakampio viršūnės.
   • Pavyzdys: sprendiniai x = π / 3 + πn / 2 vieneto apskritime yra kvadrato viršūnės.
   • Pavyzdys: sprendiniai x = π / 4 + πn / 3 vieneto apskritime reiškia taisyklingo šešiakampio viršūnes.
6. 6 Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.
   • Jei duotoje trigubojoje lygtyje yra tik viena trigerio funkcija, išspręskite šią lygtį kaip pagrindinę trigerio lygtį.Jei duotoje lygtyje yra dvi ar daugiau trigonometrinių funkcijų, tai yra 2 tokios lygties sprendimo būdai (priklausomai nuo jos transformacijos galimybės).
     • 1 metodas.
   • Konvertuokite šią lygtį į tokios formos lygtį: f (x) * g (x) * h (x) = 0, kur f (x), g (x), h (x) yra pagrindinės trigonometrinės lygtys.
     
     
   • Pavyzdys 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Sprendimas. Naudodami dvigubo kampo formulę sin 2x = 2 * sin x * cos x, pakeiskite sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos x = 0 ir (sin x + 1) = 0.
   • 7 pavyzdys. Cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Sprendimas: naudodami trigonometrinius tapatumus, šią lygtį paverskite formos lygtimi: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos 2x = 0 ir (2cos x + 1) = 0.
   • 8 pavyzdys. X x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Sprendimas: naudodami trigonometrinius tapatumus, šią lygtį paverskite formos lygtimi: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos 2x = 0 ir (2sin x + 1) = 0.
     • 2 metodas.
   • Konvertuokite pateiktą trigonometrinę lygtį į lygtį, kurioje yra tik viena trigonometrinė funkcija. Tada šią trigonometrinę funkciją pakeiskite nežinoma, pavyzdžiui, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t ir tt).
   • Pavyzdys 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Sprendimas. Šioje lygtyje (cos ^ 2 x) pakeiskite (1 - sin ^ 2 x) (tapatybe). Transformuota lygtis yra tokia:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Pakeiskite sin x į t. Dabar lygtis atrodo taip: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Tai kvadratinė lygtis su dviem šaknimis: t1 = -1 ir t2 = 9/5. Antroji šaknis t2 netenkina funkcijos reikšmių diapazono (-1 sin x 1). Dabar nuspręsk: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • 10 pavyzdys. Tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Sprendimas. Pakeiskite tg x į t. Perrašykite pradinę lygtį taip: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Dabar suraskite t ir tada suraskite x, jei t = tg x.
7. 7 Specialios trigonometrinės lygtys.
   • Yra keletas specialių trigonometrinių lygčių, kurioms reikia specifinių transformacijų. Pavyzdžiai:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Trigonometrinių funkcijų periodiškumas.
   • Kaip minėta anksčiau, visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės, tai yra, jų vertės kartojasi po tam tikro laikotarpio. Pavyzdžiai:
     • Funkcijos f (x) = sin x periodas yra 2π.
     • Funkcijos f (x) = tan x periodas lygus π.
     • Funkcijos f (x) = sin 2x periodas yra π.
     • Funkcijos f (x) = cos (x / 2) periodas yra 4π.
   • Jei uždavinyje nurodytas laikotarpis, per šį laikotarpį apskaičiuokite reikšmę „x“.
   • Pastaba: Trigonometrinių lygčių sprendimas nėra lengva užduotis ir dažnai sukelia klaidų. Taigi atidžiai patikrinkite savo atsakymus. Norėdami tai padaryti, galite naudoti grafinę skaičiuoklę, kad pavaizduotumėte pateiktą lygtį R (x) = 0. Tokiais atvejais sprendiniai bus pateikiami kaip dešimtainės trupmenos (tai yra, π pakeičiamas 3.14).