Turinys

• Žengti
• 1 dalis iš 3: Analizės pagrindai
• 2 dalis iš 3: Suprasti darinius
• 3 dalis iš 3: Suprasti integralus
• Patarimai

Analizė (dar vadinama skaičiavimu) yra matematikos šaka, orientuota į ribas, funkcijas, darinius, integralus ir begalines eiles. Šis dalykas apima daug matematikos ir yra daugelio fizikoje ir mechanikoje naudojamų formulių ir lygčių pagrindas. Tikriausiai turėsite keletą metų matematikos vidurinėje mokykloje, kad tinkamai suprastumėte analizę, tačiau šis straipsnis padės jums išmokti atpažinti pagrindines sąvokas ir geriau suprasti teoriją.

Žengti

1 dalis iš 3: Analizės pagrindai

1. Analizė yra tai, kaip viskas keičiasi. Analizė yra matematikos šaka, kuri nagrinėja skaičius ir grafikus, paprastai paimtus iš realaus pasaulio duomenų, ir paaiškina, kaip jie keičiasi. Iš pradžių tai gali pasirodyti nelabai naudinga, tačiau analizė yra viena iš dažniausiai naudojamų matematikos šakų. Įsivaizduokite, kad turite įrankių, kurie jums pasakytų, kaip greitai jūsų verslas auga bet kuriuo metu, arba kaip parengti kosminio laivo kursą ir kaip greitai sunaudojamas jo kuras. Analizė yra svarbi inžinerijos, ekonomikos, statistikos, chemijos ir fizikos priemonė, prisidėjusi prie daugybės išradimų ir atradimų.
2. Funkcijos yra santykiai tarp dviejų skaičių ir yra naudojami santykių atvaizdavimui. Tai yra skaičių santykio taisyklės, kurias matematikai naudoja kurdami grafikus. Funkcijoje kiekvienas įvestis turi tiksliai vieną rezultatą. Pavyzdžiui: ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Pagalvokite apie begalybės sampratą. Begalybė yra nuolatinis proceso kartojimas. Tai nėra konkreti vieta (negalima eiti į begalybę), bet veikiau skaičiaus ar lygties elgesys, jei tai daroma amžinai. Tai svarbu norint studijuoti pokyčius: galbūt norėsite sužinoti, kaip greitai jūsų automobilis juda bet kuriuo metu, bet ar taip greitai jūsų automobilis juda per dabartinę sekundę? Milisekundė? Nanosekundė? Galite rasti be galo mažesnių laiko dalių, kad būtų dar tiksliau, ir tada ateina analizė.
3. Suprasti ribų sampratą. Riba nurodo, kas nutinka, kai kažkas artėja prie begalybės. Paimkite skaičių 1 ir padalykite iš 2. Skirstykite iš 2 ir toliau. 1 tampa 1/2, tada 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ir kt. Kiekvieną kartą, kai skaičius vis mažėja, „arčiau“ nulio. Bet kur tai sustoja? Kiek kartų turite padalyti 1 iš 2, kad gautumėte nulį? Užuot atsakę į šį klausimą, analizuodami nustatote vieną riba Šiuo atveju riba yra.
   • Ribas lengviausia vizualizuoti diagramoje - pavyzdžiui, ar yra taškų, kuriuos grafikas beveik paliečia, bet niekada ne taip?
   • Ribos gali būti skaičius, begalinis ar net neegzistuojantis. Pavyzdžiui, pridėjus seką 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... ir tai tęsiasi neribotą laiką, galutinis skaičius tampa be galo didelis. Tada riba tampa begalinė.
4. Peržiūrėkite svarbiausias algebros, trigonometrijos ir matematikos pagrindų matematikos sąvokas. Analizė priklauso nuo daugelio matematikos dalykų, kuriuos išmokote anksčiau. Gerai informuotas apie visas temas leidžia žymiai lengviau išmokti ir suprasti analizę. Kai kurios temos, kurias reikia atnaujinti, yra:
   • Algebra. Turite suprasti skirtingus procesus ir mokėti išspręsti lygtis ir lygčių sistemas su keliais kintamaisiais. Suprasti kolekcijų pagrindus. Praktika daryti grafikus.
   • Geometrija. Geometrija yra formų tyrimas. Turėtumėte turėti pagrindinių žinių apie trikampius, stačiakampius ir apskritimus bei apie tai, kaip apskaičiuoti tokius dalykus kaip perimetras ir plotas. Suprasti kampus, linijas ir koordinates
   • Trigonometrija. Trigonometrija yra matematikos šaka, nagrinėjanti apskritimų ir stačiųjų trikampių savybes. Mokėti naudoti trigonometrines tapatybes, grafikus, funkcijas ir atvirkštines trigonometrines funkcijas.
5. Įsigykite grafikų skaičiuoklę. Analizę nėra lengva suprasti nematant, ką darai. Grafikų skaičiuoklės paverčia funkcijas regimomis, kad galėtumėte geriau suprasti, su kokiomis lygtimis turite reikalų. Dažnai ribos taip pat rodomos ekrane, o išvestinės ir funkcijos apskaičiuojamos automatiškai.
   • Daugelis išmaniųjų telefonų ir planšetinių kompiuterių šiandien siūlo nebrangias, bet efektyvias grafikų kūrimo programas, jei nenorite ar negalite nusipirkti grafikų skaičiuoklės.

2 dalis iš 3: Suprasti darinius

1. Analizė naudojama tirti „pokyčius konkrečiu momentu“. Analizės esmė yra žinoti, kodėl kažkas pasikeičia tiksliu momentu. Pavyzdžiui, analizė suteikia jums ne tik automobilio greitį, bet ir tai, kiek tas greitis keičiasi bet kuriuo metu. Tai yra vienas iš paprasčiausių analizės būdų, bet labai svarbus. Įsivaizduokite, kokia tokia informacija yra svarbi nustatant greitį, reikalingą norint pasiekti kosminį laivą į Mėnulį!
   • Pokyčių nustatymas tam tikru laiko momentu turi diferencijuoti. Diferenciacija yra pirmoji iš dviejų pagrindinių analizės šakų.
2. Naudokite darinius, kad suprastumėte, kaip viskas keičiasi tam tikru laiku. „Darinys“ yra gražus žodis tam, kas studentus dažnai jaudina. Tačiau pačią koncepciją nėra taip sunku suprasti - ji tiesiog reiškia „kaip greitai kažkas pasikeičia“. Dariniai, su kuriais susidursite labiausiai kasdieniame gyvenime, yra susiję su greičiu. Tačiau jūs to paprastai nevadinate „greičio išvestine“, o tiesiog „pagreičiu“.
   • Pagreitis yra darinys - jis nurodo, kaip greitai kažkas greitėja ar lėtėja, arba kaip keičiasi jo greitis.
3. Žinokite, kad pokyčių greitis yra lygus nuolydžiui tarp dviejų taškų. Tai yra vienas svarbiausių analizės atradimų. Dviejų taškų pokyčio greitis yra lygus tiesės tarp šių dviejų taškų nuolydžiui. Tiesiog pagalvokite apie paprastą eilutę, pavyzdžiui, apie lygtį ${ displaystyle y = 3x.}$Žinokite, kad galite nustatyti kreivų linijų nuolydį. Tiesios linijos nuolydį nustatyti gana lengva: kiek pasikeičia ${ displaystyle y}$Jei norite tiksliau apskaičiuoti pokytį, įsitikinkite, kad taškai yra arčiau vienas kito. Kuo arčiau pasirinksite du taškus, tuo tikslesnis jūsų atsakymas. Tarkime, kad norite sužinoti, kiek jūsų automobilis įsibėgėja paspaudus akseleratorių. Jūs nenorite matuoti greičio pokyčio tarp savo namo ir prekybos centro, bet greičio pokyčio nuo to momento, kai paspausite akseleratorių. Kuo arčiau jūsų skaitymo sekundės dalis, tuo tiksliau apskaičiuosite pakeitimą.
   • Pavyzdžiui, mokslininkai tiria, kaip greitai kai kurios rūšys išnyksta, kad jas išgelbėtų. Tačiau žiemą žūva daugiau gyvūnų nei vasarą, todėl nenaudinga pokyčių tempą tirti ištisus metus - geriau nustatyti pokyčių greitį per mažesnį laikotarpį, pavyzdžiui, nuo liepos 1 iki rugpjūčio 1 dienos.
4. Naudokite be galo trumpas eilutes, kad nustatytumėte „momentinį pokyčių greitį“, arba raskite darinį. Čia analizė dažnai tampa šiek tiek paini, tačiau tai iš tikrųjų yra dviejų paprastų faktų rezultatas. Visų pirma, jūs žinote, kad tiesės nuolydis yra lygus tam, kaip greitai ta linija keičiasi. Antra, jūs žinote, kad kuo arčiau linijos taškai yra vienas kitam, tuo tikslesnis bus rodmuo. Bet kaip rasti pokyčių greitį tam tikrame taške, jei nuolydis yra dviejų taškų santykis? Atsakymas: Jūs pasirenkate du taškus, kurie yra be galo arti vienas kito.
   • Apsvarstykite pavyzdį, kai jūs nuolat dalijate 1 iš 2, taip gaunant 1/2, 1/4, 1/8 ir kt. Taigi galų gale priartėsite prie nulio, o atsakymas bus „beveik nulis“. Taškai yra taip arti vienas kito, kad yra „beveik lygūs vienas kitam“. Tai darinių prigimtis.
5. Sužinokite, kaip nustatyti įvairius darinius. Yra daugybė skirtingų būdų, kaip surasti išvestinę informaciją, priklausomai nuo lygties, tačiau dauguma jų yra prasmingos, jei įsiminėte aukščiau išvardytus darinių pagrindus. Visi dariniai yra būdas nustatyti „begalinės“ tiesės nuolydį. Dabar, kai žinote daugiau apie išvestinių teoriją, didžioji dalis darbo yra ieškant atsakymų.
6. Raskite išvestines lygtis, norėdami numatyti pokyčių greitį bet kuriuo metu. Norint nustatyti pokyčių greitį bet kuriuo metu, naudinga naudoti išvestines priemones, tačiau analizės grožis yra tas, kad galite sukurti naują bet kurios funkcijos modelį. Išvestinė iš ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Jei jums tai sunku suprasti, pabandykite prisiminti realius darinių pavyzdžius. Paprasčiausias pavyzdys yra greitis, apimantis daugybę įvairių darinių, su kuriais susiduriame kiekvieną dieną. Nepamiršk: išvestinė priemonė yra matas, kaip greitai kažkas pasikeičia. Pagalvokite apie paprastą eksperimentą. Jūs sukate marmurą ant stalo ir kiekvieną kartą matuojate, kiek jis juda ir kaip greitai. Dabar įsivaizduokite, kad riedantis marmuras eina pagal grafiko liniją - jūs naudojate darinius, kad matuotumėte betarpiškus tos linijos pokyčius bet kuriuo metu.
   • Kaip greitai juda marmuras? Kokiu greičiu keičiasi judančio marmuro padėtis (arba darinys)? Mes vadiname šį išvestinį „greičiu“.
   • Sukite marmurą palei šlaitą ir stebėkite, kaip keičiasi greitis. Koks marmuro greičio kitimo arba išvestinės greitis? Šį darinį mes vadiname „pagreičiu“.
   • Sukite marmurą banguotu takeliu, pavyzdžiui, kalneliais. Kiek marmuras įsibėgėja, kai rieda žemyn, ir kiek marmuras lėtėja į kalną? Kaip greitai marmuras eina tiksliai, kai jis yra įpusėjęs pirmąjį kalvą? Tai yra momentinis to marmuro pokyčių greitis arba darinys tame konkrečiame taške.

3 dalis iš 3: Suprasti integralus

1. Žinokite, kad naudodami analizę galite rasti sudėtingas sritis ir apimtis. Atlikdami analizę galite išmatuoti sudėtingas formas, kurias šiaip sunku išmatuoti. Apsvarstykite, pavyzdžiui, problemą, kurią norite sužinoti, kiek vandens yra ilgame, netaisyklingos formos ežere - neįmanoma išmatuoti kiekvieno vandens litro atskirai arba naudoti liniuotę ežero formai matuoti. Atlikdami analizę, galite ištirti, kaip keičiasi ežero kraštai, ir panaudoti tą informaciją, kad sužinotumėte, kiek jame yra vandens.
   • Geometrinių modelių kūrimas ir apimčių tyrimas integruotis. Integruotas skaičiavimas yra antra svarbi analizės šaka.
2. Žinokite, kad integracija yra žemiau diagramos esanti sritis. Integracija naudojama matuojant erdvę žemiau linijos, o tai leidžia nustatyti keistų ar netaisyklingų formų plotą. Paimkime lygtį ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Žinokite, kad turite pasirinkti sritį, kurią norite integruoti. Negalite tiesiog integruoti visos funkcijos. Pavyzdžiui, ${ displaystyle y = x}$Pagalvokite, kaip apskaičiuoti stačiakampio plotą. Tarkime, kad virš diagramos turite plokščią liniją, pvz ${ displaystyle y = 4.}$Žinokite, kad integraliniame skaičiavime daugybė mažų stačiakampių pridedami, kad surastų ploto plotą. Nepaprastai padidinus kreivę, atrodo, kad tai tiesi linija. Tai matai kiekvieną dieną - negali suvokti žemės kreivumo, nes esi taip arti žemės paviršiaus. Integracija sukuria begalinį skaičių mažų stačiakampių po kreive, kurie yra tokie maži, kad iš esmės yra plokšti, todėl galite juos suskaičiuoti. Visi šie kartu pridėti stačiakampiai sudaro ploto plotą po kreive.
   • Tarkime, kad po diagrama pridedate daug mažų segmentų, ir tai yra kiekvieno segmento plotis beveik yra nulis.
3. Mokėti teisingai skaityti ir užsirašyti integralus. Integralus sudaro 4 dalys. Tipiškas integralas atrodo taip:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Sužinokite daugiau apie integralų paiešką. Integracija yra įvairių formų, ir jūs turite išmokti daug skirtingų formulių, kad integruotumėte kiekvieną funkciją. Tačiau jie visi vadovaujasi aukščiau išdėstytais principais: integracija yra begalinio daugybės dalykų suma.
   • Integruotis pakeičiant.
   • Apskaičiuokite neapibrėžtus integralus.
   • Integruotis dalijantis.
4. Žinokite, kad integracija yra atvirkštinė diferenciacija ir atvirkščiai. Tai yra analizės nykščio taisyklė, kuri yra tokia svarbi, kad jai buvo suteiktas savas pavadinimas: pagrindinė integralinio skaičiavimo teorema.Kadangi integracija ir diferencijavimas yra taip glaudžiai susiję, dviejų būdų deriniu galima nustatyti pokyčių greitį, pagreitį, greitį, vietą, judėjimą ir kt., Neatsižvelgiant į tai, kokią informaciją turite.
   • Pavyzdžiui, nepamirškite, kad greičio išvestinė yra pagreitis, todėl galite naudoti greitį, kad rastumėte pagreitį. Bet jei žinote tik kažko pagreitį (pvz., Objektų, krentančių dėl gravitacijos), tuomet galite integruotis, kad atgautumėte greitį!
5. Žinokite, kad integruodami galite valdyti ir 3D objektų tūrį. Plokščios formos sukimas yra vienas iš būdų sukurti 3D kietąsias medžiagas. Įsivaizduokite, kaip moneta sukasi ant stalo - atkreipkite dėmesį, kaip atrodo, kad moneta sukdamasi įgauna rutulio formą. Ši koncepcija leidžia jums nustatyti tūrį pagal procesą, vadinamą „tūris pasukant“.
   • Tai leidžia jums nustatyti bet kurio kietojo skysčio tūrį, jei turite funkciją, kuri jį atspindi. Pvz., Galite sukurti funkciją, kuri stebi ežero dugną, ir naudoti ją, kad nustatytumėte ežero tūrį arba kiek jame yra vandens.

Patarimai

• Praktika yra tobula, todėl atlikite savo vadovėlio pratybų pratimus - net tuos, kurių mokytojas nepateikė - ir patikrinkite savo atsakymus, kad galėtumėte geriau suprasti sąvokas.
• Jei negalite rasti sprendimo, paklauskite savo mokytojo.