Turinys

• Žengti
• Patarimai

Kaip grafiką matykite kvadratinę lygtį kirvis + bx + c , taip pat kuris yra parašytas taip a (x - h) + k, atrodo kaip lygi U formos kreivė. Mes tai vadiname parabolė. Kvadratinės lygties grafike reikia rasti viršūnę, kryptį ir dažnai susikirtimo taškus su x ašimi ir y ašimi. Gana paprastos kvadratinės lygties atveju taip pat gali pakakti įvesti x reikšmių skaičių, kad šie taškai būtų nurodyti koordinačių sistemoje, o po to galima nubrėžti parabolę. Norėdami pradėti, tęskite 1 veiksmą.

Žengti

1. Nustatykite, kokią turite antrojo laipsnio lygtį. Jis gali būti parašytas dviem būdais: standartiniu žymėjimu ir viršūnių žymėjimu (kitas būdas rašyti kvadratinės šaknies formulę). Galite naudoti abi, kad sukurtumėte kvadratinės lygties grafiką, tačiau procesas kiekvienu atveju yra šiek tiek kitoks. Dažniausiai susidursite su standartine forma, tačiau tikrai nepakenks išmokti naudoti abi formas. Dvi kvadratinės lygties formos yra:
   • Standartinė forma. Kvadratinė lygtis pažymima taip: f (x) = ax + bx + c, kur a, b ir c yra tikrieji skaičiai, o a nėra lygus nuliui.
     • Du standartinių kvadratinių lygčių pavyzdžiai: f (x) = x + 2x + 1 ir f (x) = 9x + 10x -8.
   • Viršūnės forma. Kvadratinė lygtis pažymima taip: f (x) = a (x - h) + k, kur a, h ir k yra realieji skaičiai, o a nėra lygus nuliui. Ši forma vadinama viršūne, nes h ir k nukreipia tiesiai į jūsų parabolės viršų taške (h, k).
     • Du viršūnių formos lygčių pavyzdžiai yra f (x) = 9 (x - 4) + 18 ir -3 (x - 5) + 1
   • Norėdami sudaryti šių lygčių grafiką, pirmiausia nustatome grafiko viršų (h, k). Standartinėje lygtyje tai rasite: h = -b / 2a ir k = f (h), o tai jau pateikiama viršūnių pavidalu, nes h ir k atsiranda lygtyje.
2. Nustatykite savo kintamuosius. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, paprastai reikia nustatyti kintamuosius a, b ir c (arba a, h ir k). Reguliarus pratimas suteiks jums antrojo laipsnio lygtį standartine forma, tačiau gali atsirasti ir viršūnių žymėjimas.
   • Pvz .: standartinė funkcija f (x) = 2x + 16x + 39. Čia mes turime a = 2, b = 16 ir c = 39.
   • Viršūnės žymėjime: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Čia mes turime a = 4, h = 5 ir k = 12.
3. Apskaičiuokite h. Viršūnės žymėjime h reikšmė jau yra pateikta, tačiau standartiniame žymėjime šią vertę dar reikia apskaičiuoti. Atminkite, kad taikant standartinę lygtį: h = -b / 2a.
   • 1 pavyzdys. (F (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Tai išsprendę matome, kad h = -4.
   • 2 pavyzdys (f (x) = 4 (x - 5) + 12), mes iškart matome, kad h = 5.
4. Apskaičiuokite k. Kaip ir h atveju, k jau žinomas iš viršūnių formos lygčių. Atminkite, kad k = f (h) yra lygtys standartiniame žymėjime. Kitaip tariant, k galite rasti pakeisdami bet kurį kintamąjį x h verte.
   • 1 pavyzdyje matėme, kad h = -4. Norėdami rasti k, išspręsime šią lygtį, užpildydami šią kintamojo x reikšmę h:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Iš 2 pavyzdžio žinome, kad k reikšmė lygi 12, nereikia atlikti jokių skaičiavimų.
5. Nubrėžkite grafiko viršų arba apačią. Jūsų parabolės viršūnė arba slėnis yra taškas (h, k) - h reiškia x koordinatę, o k - y koordinatę. Viršūnė yra jūsų parabolės centras - „U“ pavidalo grafiko aukščiausias arba žemiausias taškas, viršūnė arba slėnis, arba atvirkščiai.Gebėjimas nustatyti parabolės viršų yra esminė teisingo grafiko braižymo dalis - dažnai parabolės viršaus nustatymas yra matematikos problema mokykloje.
   • 1 pavyzdyje grafiko viršus yra (-4.7). Nubraukite tašką savo diagramoje ir įsitikinkite, kad teisingai pavadinote koordinates.
   • 2 pavyzdyje viršuje yra (5.12). Taigi nuo taško (0,0) einate 5 vietas į dešinę ir tada aukštyn 12.
6. Jei reikia, nubrėžkite parabolės simetrijos ašį. Parabolės simetrijos ašis yra linija, kertanti figūrą viduryje, padalijant ją tiksliai per pusę. Viena grafiko pusė yra atspindėta palei šią liniją kitoje grafiko pusėje. Esant kvadratinėms lygtims ax + bx + c arba a (x - h) + k, ši ašis yra tiesė, lygiagreti y ašiai, einanti per parabolės viršūnę.
   • 1 pavyzdyje simetrijos ašis yra tiesė, lygiagreti y ašiai ir einanti per tašką (-4,7). Nors tai nėra pačios parabolės dalis, lengvai paryškinus šią gairę galima parodyti, kiek simetriška yra parabolės kreivė.
7. Nustatykite parabolės kryptį. Sužinoję, kas yra parabolės viršus, būtina žinoti, ar turite reikalų su kalno, ar su slėnio parabolė, t. Y. Ar anga yra apačioje, ar viršuje. Laimei, tai yra labai lengva. Jei „a“ yra teigiamas, turite reikalų su slėnio parabolė; jei „a“ yra neigiamas, tai kalnų parabolė (su anga apačioje)
   • 1 pavyzdyje mes nagrinėjame funkciją (f (x) = 2x + 16x + 39), taigi tai yra slėnio parabolė, nes a = 2 (teigiama).
   • 2 pavyzdyje kalbama apie funkciją f (x) = 4 (x - 5) + 12), ir tai taip pat yra slėnio parabolė, nes a = 4 (teigiama).
8. Jei reikia, nustatykite parabolės susikirtimo taškus. Dažnai, kai matematikos užduotyje prašoma pateikti parabolės ir x ašies sankirtas (tai yra „nulis“, a arba du taškai, kur parabolė susikerta arba pataiko į ašį x). Net jei jų nereikia, šie taškai yra labai svarbūs, kad būtų galima parengti tikslų grafiką. Bet ne visos parabolės turi sankirtą su x ašimi. Jei turite reikalų su slėnio parabolė ir slėnio taškas yra virš x ašies arba, kalnų parabolės atveju, tiesiai žemiau x ašies, tada tiesiog nėra sankirtos taškų. Jei taip, naudokite vieną iš šių būdų:
   • Nustatykite, kad f (x) = 0, ir išspręskite lygtį. Šis metodas gali būti naudojamas paprastoms kvadratinėms lygtims, ypač viršūnių formai, tačiau pastebėsite, kad tai tampa vis sunkiau, nes funkcijos tampa sudėtingesnės. Toliau pateikiami keli pavyzdžiai.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 ir 13 yra sankirtos taškai su parabolės x ašimi.
   • Faktorius lygtis. Kai kurios lygties formos ax + bx + c formos gali būti lengvai perrašomos kaip (dx + e) ​​(fx + g), kur dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx ir e × g = c. Šiuo atveju x sankirtos yra x reikšmės, kai kiekvienas skliaustuose esantis terminas tampa lygus 0. Pavyzdžiui:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Šiuo atveju sankirtos taškas yra -1, nes, įvedus abu veiksnius, gaunamas nulis.
   • Naudokite abc formulę. Jei nėra lengva išsiaiškinti susikirtimus arba apskaičiuoti lygtį, specialiai šiam tikslui naudokite „abc formulę“. Tarkime, kad lygtis yra ax + bx + c. Tada įveskite a, b ir c reikšmes formulėje x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Atkreipkite dėmesį, kad tai dažnai duoda du atsakymus į x, o tai gerai - tai reiškia, kad jūsų parabolė turi dvi sankryžas su x ašimi. Štai pavyzdys:
     • Lygtyje įveskite -5x + 1x + 10 taip:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) ir (-15,18 / -10). Parabolės susikirtimo taškai su x ašimi yra maždaug x = -1,318 ir 1,518
     • Kaip ir 1 pavyzdyje su 2x + 16x + 39 lygtimi, tai atrodys taip:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Kadangi neįmanoma rasti neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies, žinome, kad šiai konkrečiai parabolei nėra susikirtimo taškų su x ašimi.
9. Jei reikia, nustatykite parabolės sankirtą su y ašimi. Tai dažnai nėra būtina, bet kartais reikalaujama rasti šią sankryžą, pavyzdžiui, matematikos uždavinį. Tai gana lengva - nustatykite x reikšmę į 0 ir išspręskite f (x) arba y lygtį, kuri suteikia taško, kuriame parabolė susikerta su y ašimi, y vertę. Skirtumas nuo susikirtimo taškų per x ašį yra tas, kad y ašyje visada yra tik vienas susikirtimo taškas. Pastaba - naudojant standartines lygtis, sankirta su y ašimi yra y = c.
   • Pavyzdžiui, mes žinome, kad mūsų kvadratinė lygtis 2x + 16x + 39 turi sankirtą y = 39, tačiau taip pat galime rasti tai:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Parabolės sankirta su y ašimi: y = 39. Kaip nurodyta aukščiau, mes galime lengvai perskaityti sankirtos tašką, nes y = c.
   • 4 (x - 5) + 12 lygtis susikerta su y ašimi, kurią galima rasti taip:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Susikirtimas su y ašimi: y = 112.
10. Jei manote, kad tai yra būtina, pirmiausia atkreipkite papildomus taškus ir tada visą grafiką. Dabar turėtumėte turėti savo lygties viršūnę arba slėnį, kryptį, susikirtimo taškus su x ašimi ir galbūt su y ašimi. Nuo šio momento galite pabandyti nupiešti parabolę naudodami šiuos taškus arba galite pabandyti rasti daugiau taškų, kad grafikas būtų tikslesnis. Paprasčiausias būdas tai padaryti yra tiesiog įvesti x reikšmių skaičių, kuris grąžins daug y reikšmių. Prieš pradėdami piešti parabolę, jūsų dažnai paprašys (mokytojas) apskaičiuoti taškų skaičių.
    • Pažvelkime dar kartą į lygtį x + 2x + 1. Mes jau žinome, kad vienintelė sankirta su x ašimi yra (-1,0). Kadangi šioje vietoje jis liečia tik x ašį, galime daryti išvadą, kad grafiko viršus yra lygus šiam taškui. Kol kas turime tik vieną šios parabolės tašką - ne tiek ir mažai, kad nupieštume grafiką. Suraskime dar keletą taškų, kad įsitikintume, jog turime daugiau vertybių.
      • Pabandykime rasti y reikšmes, atitinkančias šias x reikšmes: 0, 1, -2 ir -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Tada taškas (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Tada taškas (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Tada taškas (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Tada taškas (-3,4).
      • Padėkite šiuos taškus grafike ir nubraižykite savo parabolę. Atkreipkite dėmesį, kad parabolė yra visiškai simetriška - jei žinote taškus vienoje grafiko pusėje, paprastai galite sutaupyti daug darbo, naudodamiesi šiais taškais surasti taškus kitoje simetrijos ašies pusėje.

Patarimai

• Jei reikia, suapvalinkite skaičius arba naudokite trupmenas. Tai gali padėti tinkamai parodyti diagramą.
• Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijai f (x) = ax + bx + c, b arba c yra lygus nuliui, šie terminai išnyks. Pavyzdžiui, 12x + 0x + 6 tampa lygus 12x + 6, nes 0x yra lygus 0.