Turinys

• Žengti

Trigonometrinė lygtis yra lygtis su viena ar daugiau kintamosios trigonometrinės kreivės x trigonometrinių funkcijų. Sprendimas x reiškia trigonometrinių kreivių, kurių trigonometrinės funkcijos sukelia trigonometrinę lygtį, reikšmių radimą.

• Sprendimo kreivių atsakymai arba vertės yra išreikšti laipsniais arba radianais. Pavyzdžiai:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 laipsniai; x = 37,12 laipsnių; x = 178,37 laipsniai

• Pastaba: Vieneto apskritime bet kurios kreivės trigonometrinės funkcijos yra lygios atitinkamo kampo trigonometrinėms funkcijoms. Vieneto apskritimas apibrėžia visas kintamosios kreivės x trigonometrines funkcijas. Jis taip pat naudojamas kaip įrodymas sprendžiant pagrindines trigonometrines lygtis ir nelygybes.
• Trigonometrinių lygčių pavyzdžiai:
  • nuodėmė x + nuodėmė 2x = 1/2; įdegis x + lovelė x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Vieneto apskritimas.
   • Tai apskritimas, kurio spindulys = 1, kur O yra kilmė. Vieneto apskritimas apibrėžia 4 pagrindines kintamosios kreivės x trigonometrines funkcijas, kurios ją apskrita prieš laikrodžio rodyklę.
   • Kai kreivė, kurios vertė x, skiriasi nuo vieneto apskritimo, laikoma:
   • Horizontali ašis OAx apibrėžia trigonometrinę funkciją f (x) = cos x.
   • Vertikali ašis OBy apibrėžia trigonometrinę funkciją f (x) = sin x.
   • Vertikali ašis AT apibrėžia trigonometrinę funkciją f (x) = tan x.
   • Horizontali ašis BU apibrėžia trigonometrinę funkciją f (x) = lovelė x.

• Apskritimo vienetas taip pat naudojamas pagrindinėms trigonometrinėms lygtims ir standartinėms trigonometrinėms nelygybėms spręsti, atsižvelgiant į įvairias kreivės x padėtis apskritime.

Žengti

1. Supraskite sprendimo būdą.
   • Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, konvertuokite ją į vieną ar daugiau pagrindinių trigonometrinių lygčių. Sprendžiant trigonometrines lygtis, galiausiai gaunamos 4 pagrindinės trigonometrinės lygtys.
2. Žinoti, kaip išspręsti pagrindines trigonometrines lygtis.
   • Yra 4 pagrindinės trigonometrinės lygtys:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; lovelė x = a
   • Pagrindines trigonometrines lygtis galite išspręsti tyrinėdami įvairias kreivės x pozicijas trigonometriniame apskritime ir naudodami trigonometrinės perskaičiavimo lentelę (arba skaičiuoklę). Norėdami visiškai suprasti, kaip išspręsti šias ir panašias trigonometrines lygtis, perskaitykite šią knygą: „Trigonometrija: trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimas“ („Amazon E-book 2010“).
   • 1 pavyzdys. Išspręskite sin x = 0,866. Konversijos lentelėje (arba skaičiuoklėje) pateikiamas atsakymas: x = Pi / 3. Trigonometrinis apskritimas suteikia kitą kreivę (2Pi / 3) su ta pačia sinuso verte (0,866). Trigonometrinis apskritimas taip pat suteikia begalę atsakymų, vadinamų išplėstaisiais atsakymais.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi ir x2 = 2Pi / 3. (Atsakymai per laikotarpį (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi ir x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Išsamūs atsakymai).
   • 2 pavyzdys. Išspręskite: cos x = -1/2. Skaičiuoklės pateikia x = 2 Pi / 3. Trigonometrinis apskritimas taip pat suteikia x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi ir x2 = - 2Pi / 3. (Atsakymai už laikotarpį (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi ir x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Išplėstiniai atsakymai)
   • 3 pavyzdys. Išspręskite: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Atsakymas)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Išplėstinis atsakymas)
   • 4 pavyzdys. Išspręskite: lovelė 2x = 1,732. Skaičiuoklės ir trigonometrinis apskritimas pateikia:
   • x = Pi / 12; (Atsakymas)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Išplėstiniai atsakymai)
3. Sužinokite apie transformacijas, naudojamas sprendžiant trigonometrines lygtis.
   • Norėdami konvertuoti nurodytą trigonometrinę lygtį į standartines trigonometrines lygtis, naudokite standartines algebrines konversijas (faktorizavimas, bendras faktorius, daugianariai ...), trigonometrinių funkcijų ir trigonometrinių tapatybių apibrėžimus ir savybes. Yra apie 31, iš kurių 14 yra trigonometriniai tapatumai, nuo 19 iki 31, dar vadinami transformacijos identitetais, nes jie naudojami konvertuojant trigonometrines lygtis. Žr. Aukščiau pateiktą knygą.
   • 5 pavyzdys: trigonometrinė lygtis: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 galima konvertuoti į pagrindinių trigonometrinių lygčių sandaugą naudojant trigonometrines tapatybes: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Pagrindinės trigonometrinės lygtys, kurias reikia išspręsti, yra: cos x = 0; nuodėmė (3x / 2) = 0; ir cos (x / 2) = 0.
4. Raskite kreives, kurioms žinomos trigonometrinės funkcijos.
   • Kad galėtumėte išmokti išspręsti trigonometrines lygtis, turite žinoti, kaip greitai rasti kreives, kurioms žinomos trigonometrinės funkcijos. Kreivių (arba kampų) perskaičiavimo vertes galima nustatyti naudojant trigonometrines lenteles arba skaičiuoklę.
   • Pavyzdys: išspręskite cos x = 0,732. Skaičiuoklė pateikia tirpalą x = 42,95 laipsnių. Vieneto apskritimas suteikia kitas kreives, kurių vertė yra vienoda kosinusui.
5. Nubraukite atsakymo lanką ant vieneto apskritimo.
   • Galite sukurti diagramą, kuri iliustruoja sprendimą vieneto apskritime. Šių kreivių galiniai taškai yra taisyklingi trigonometrinio apskritimo daugiakampiai. Keletas pavyzdžių:
   • Kreivės galiniai taškai x = Pi / 3 + k. Pi / 2 yra kvadratas ant vieneto apskritimo.
   • X = Pi / 4 + k.Pi / 3 kreivės vaizduojamos šešiakampio koordinatėmis vieneto apskritime.
6. Sužinokite, kaip išspręsti trigonometrines lygtis.
   • Jei pateiktoje trigonometrinėje lygtyje yra tik viena trigonometrinė funkcija, išspręskite ją kaip standartinę trigonometrinę lygtį. Jei pateiktoje lygtyje yra dvi ar daugiau trigonometrinių funkcijų, yra du sprendimo būdai, priklausomai nuo lygties konvertavimo galimybių.
     • A. 1 metodas.
   • Konvertuokite trigonometrinę lygtį į formos sandaugą: f (x) .g (x) = 0 arba f (x) .g (x) .h (x) = 0, kur f (x), g (x) ir h (x) yra pagrindinės trigonometrinės lygtys.
   • 6 pavyzdys. Išspręskite: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Sprendimas. Pakeiskite sin 2x lygtyje naudodami tapatybę: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Tada išspręskite 2 standartines trigonometrines funkcijas: cos x = 0 ir (sin x + 1) = 0.
   • 7 pavyzdys. Išspręskite: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Sprendimas: konvertuokite tai į sandaugą naudodami trigonometrines tapatybes: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Dabar išspręskite 2 pagrindines trigonometrines lygtis: cos 2x = 0 ir (2cos x + 1) = 0.
   • 8 pavyzdys. Išspręskite: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Sprendimas: konvertuokite tai į sandaugą naudodami trigonometrines tapatybes: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Dabar išspręskite 2 pagrindines trigonometrines lygtis: cos 2x = 0 ir (2sin x + 1) = 0.
     • B. 2 požiūris.
   • Trigso lygtį paverčia trigso lygtimi, turinčia tik vieną unikalią trigmo funkciją kaip kintamąjį. Yra keletas patarimų, kaip pasirinkti tinkamą kintamąjį. Dažniausi kintamieji yra: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t ir tan (x / 2) = t.
   • 9 pavyzdys. Išspręskite: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Sprendimas. Lygtyje pakeiskite (cos ^ 2x) reikšme (1 - sin ^ 2x) ir supaprastinkite lygtį:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Dabar naudokite sin x = t. Lygtis tampa: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Tai kvadratinė lygtis, turinti 2 šaknis: t1 = -1 ir t2 = 9/5. Antrąjį t2 galime atmesti, nes> 1. Dabar išspręskite: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • 10 pavyzdys. Išspręskite: tan x + 2 tan ^ 2 x = lovelė x + 2.
   • Sprendimas. Naudokite įdegį x = t. Konvertuokite pateiktą lygtį į lygtį, kurios kintamasis yra t: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Išspręskite t iš šio sandaugos, tada išspręskite x standartinę trigonometrinę lygtį tan x = t.
7. Išspręskite specialias trigonometrines lygtis.
   • Yra keletas specialių trigonometrinių lygčių, kurioms reikalingos tam tikros konversijos. Pavyzdžiai:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Sužinokite periodines trigonometrinių funkcijų savybes.
   • Visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės, o tai reiškia, kad po sukimosi per tam tikrą laiką jos grįžta į tą pačią vertę. Pavyzdžiai:
     • Funkcijos f (x) = sin x taškas yra 2Pi.
     • Funkcijoje f (x) = tan x Pi yra taškas.
     • Funkcijos f (x) = sin 2x taškas yra Pi.
     • Funkcijos f (x) = cos (x / 2) taškas yra 4Pi.
   • Jei pratybose / teste nurodytas laikotarpis, jums tereikia per šį laikotarpį rasti kreivę (-es) x.
   • PASTABA: trigonometrinių lygčių sprendimas yra sudėtingas ir dažnai sukelia klaidų. Todėl atsakymus reikėtų atidžiai patikrinti. Išsprendę galite patikrinti atsakymus naudodami grafikos skaičiuoklę, kad pateiktas trigonometrinis lygtis būtų tiesiogiai pavaizduota R (x) = 0. Atsakymai (kaip kvadratinė šaknis) pateikiami dešimtųjų tikslumu. Pavyzdžiui, Pi vertė yra 3,14