Turinys

• Žengti
• 1 metodas iš 2: Pirmasis metodas: kryžminis dauginimas
• 2 metodas iš 2: Antrasis metodas: rasti vardiklių mažiausiai bendrąjį kartotinį (LCM)
• Patarimai

Racionalioji funkcija yra trupmena su vienu ar keliais kintamaisiais skaitiklyje arba vardiklyje. Racionalioji lygtis yra bet kuri lygtis, kurioje yra bent viena racionali išraiška. Kaip ir įprastas algebrines lygtis, racionalias išraiškas galima išspręsti taikant tą pačią operaciją abiejose lygties pusėse, kol kintamasis bus izoliuotas vienoje lygybės ženklo pusėje. Du ypatingi metodai, kryžminis dauginimas ir mažiausio vardiklių kartotinio suradimas, yra ypač naudingi kintamiesiems išskirti ir racionalioms lygtims spręsti.

Žengti

1 metodas iš 2: Pirmasis metodas: kryžminis dauginimas

1. Jei reikia, pertvarkykite lygtį, kad įsitikintumėte, jog abiejose lygybės ženklo pusėse yra trupmena. Kryžminis dauginimas yra greitas racionalių lygčių sprendimo būdas. Deja, šis metodas tinka tik racionalioms lygtims, kurių abiejose lygybės pusėse yra tiksliai viena racionali išraiška ar trupmena. Jei tai nėra jūsų lygties atvejis, tikriausiai jums reikia kai kurių algebrinių operacijų, kad terminai būtų tinkamoje vietoje.
   • Pvz., (X + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 lygtį galima lengvai konvertuoti į teisingą kryžminio dauginimo formą, pridedant x / (- 2) prie abiejų lygties pusių, kad rezultatas būtų atrodo taip: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Atminkite, kad dešimtainiai ir sveiki skaičiai gali būti konvertuojami į trupmenas, suteikiant jiems vardiklį 1. Pavyzdžiui, (x + 3) / 4 - 2,5 = 5, galima perrašyti kaip (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, o tai leidžia taikyti kryžminį dauginimą.
   • Kai kurių racionalių lygčių negalima lengvai konvertuoti į teisingą formą. Tais atvejais naudokite metodus, kai naudojate mažiausiai bendrąjį vardiklių kartotinį.
2. Kryžminis dauginimas. Kryžminis dauginimas reiškia tiesiog vienos trupmenos skaitiklio padauginimą iš kitos vardiklio ir atvirkščiai. Padauginkite trupmenos skaitiklį kairėje nuo lygybės ženklo su trupmena dešinėje. Pakartokite skaitiklį dešinėje ir trupmenos vardiklį kairėje.
   • Kryžminis dauginimas veikia pagal įprastus algebrinius principus. Racionaliosios išraiškos ir kitos trupmenos gali būti paverstos taisyklingaisiais skaičiais, padauginus vardiklius. Iš esmės kryžminis dauginimas yra patogus trumpinis būdas padauginti abi lygties puses iš abiejų trupmenų vardiklių. Ar netikite? Išbandykite - supaprastinę pamatysite tuos pačius rezultatus.
3. Padarykite abu produktus lygius vienas kitam. Padauginus kryžminimą, jums lieka du produktai. Padarykite šiuos du terminus lygius ir supaprastinkite, kad gautumėte paprasčiausius terminus abiejose lygties pusėse.
   • Pvz., Jei (x + 3) / 4 = x / (- 2) buvo jūsų pirminė racionali išraiška, tai po kryžminio padauginimo ji tampa lygi -2 (x + 3) = 4x. Pasirinktinai tai gali būti perrašyta kaip -2x - 6 = 4x.
4. Išspręskite kintamąjį. Norėdami rasti kintamojo reikšmę lygtyje, naudokite algebrines operacijas. Atminkite, kad jei abiejose lygybės ženklo pusėse yra x, tada pridėdami arba atimdami x terminą įsitikinkite, kad vienoje lygybės pusėje yra tik x terminai.
   • Mūsų pavyzdyje galima abi lygties puses padalyti iš -2, kuri suteikia mums x + 3 = -2x. Atėmus x iš abiejų lygybės ženklo pusių, gauname 3 = -3x. Galiausiai, padaliję abi puses iš -3, gausime -1 = x, arba taip pat x = -1. Dabar mes radome x, kuris išsprendžia mūsų racionalią lygtį.

2 metodas iš 2: Antrasis metodas: rasti vardiklių mažiausiai bendrąjį kartotinį (LCM)

1. Supraskite, kai rasti mažiausiai bendrą vardiklių kartotinį yra akivaizdu. Mažiausias vardiklių kartotinis (LCM) iš vardiklių gali būti naudojamas supaprastinant racionalias lygtis, leidžiant rasti jų kintamųjų reikšmes. Rasti LCM yra gera idėja, jei racionaliosios lygties negalima lengvai perrašyti į formą, kur kiekvienoje lygybės ženklo pusėje yra tik viena trupmena ar racionali išraiška. LCM yra naudinga priemonė norint išspręsti racionalias lygtis su trimis ar daugiau terminų. Bet norint išspręsti racionalias lygtis tik su dviem terminais, kryžminis dauginimas dažnai yra greitesnis.
2. Nagrinėkite kiekvienos trupmenos vardiklį. Raskite mažiausią skaičių, kuris yra visiškai padalijamas iš bet kurio vardiklio. Tai yra jūsų lygties LCM.
   • Kartais mažiausiai paplitęs kartotinis - mažiausias skaičius, kuris yra visiškai padalijamas iš kiekvieno vardiklio - iškart pastebimas. Pvz., Jei jūsų išraiška atrodo x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, tada lengva suprasti, kad LCM turi dalytis iš 3, 2 ir 6, taigi lygus 6.
   • Tačiau dažniausiai racionalaus palyginimo LCM iš karto nėra aiškus. Tais atvejais pabandykite didžiausio vardiklio kartotinius, kol rasite skaičių, kuriame yra kitų, mažesnių vardiklių kartotiniai. Dažnai LCM yra dviejų vardiklių sandauga. Pavyzdžiui, imkime lygtį x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, kur LCM lygus 8 * 9 = 72.
   • Jei viename ar keliuose vardikliuose yra kintamasis, šis procesas bus šiek tiek sunkesnis, bet jokiu būdu neįmanomas. Tais atvejais LCM yra išraiška (su kintamaisiais), visiškai tinkanti visiems vardikliams, ne tik vienam skaičiui. Pavyzdžiui, lygtis 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), kur LCM lygus 3x (x-1), nes ji yra visiškai padalijama iš bet kurio vardiklio - padalijimo iš (x- 1) ) duoda 3x, dalijant iš 3x gauname (x-1), o dalijant iš x gauname 3 (x-1).
3. Padauginkite kiekvieną racionaliosios lygties trupmeną iš 1. Padauginti kiekvieną terminą iš 1 gali atrodyti nenaudinga, tačiau čia yra triukas. Būtent, 1 galima parašyti kaip trupmeną - pvz., 2/2 ir 3/3. Padauginkite kiekvieną savo racionaliosios lygties trupmeną iš 1, kiekvieną kartą parašydami 1 kaip skaičių ar terminą, padaugintą iš kiekvieno vardiklio, kad gautumėte LCM kaip trupmeną.
   • Mūsų pavyzdyje galime padauginti x / 3 iš 2/2, kad gautume 2x / 6, o padauginę 1/2 iš 3/3, kad gautume 3/6. 3x +1/6 vardiklis jau yra 6 (lcm), todėl galime jį padauginti iš 1/1 arba tiesiog palikti.
   • Mūsų pavyzdyje su kintamaisiais vardikliuose visas procesas yra šiek tiek sudėtingesnis. Kadangi LCM yra lygus 3x (x-1), kiekvieną racionalią išraišką padauginame iš trupmenos, iš kurios gaunamas 3x (x-1) kaip vardiklis. Padauginame 5 / (x-1) iš (3x) / (3x) ir gauname 5 (3x) / (3x) (x-1), padauginame 1 / x iš 3 (x-1) / 3 (x -1) ir tai duoda 3 (x-1) / 3x (x-1), o mes padauginame 2 / (3x) iš (x-1) / (x-1) ir galiausiai gauname 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Supaprastinkite ir išspręskite x. Dabar, kai kiekvienas jūsų racionaliosios lygties terminas turi tą patį vardiklį, galima iš vardo pašalinti vardiklius ir išspręsti skaitiklius. Paprasčiausiai padauginkite abi lygties puses iš LCM, kad atsikratytumėte vardiklių, kad liktų tik skaitikliai. Dabar tai tapo taisyklinga lygtimi, kurią galite išspręsti kintamajam, išskirdami ją vienoje lygybės ženklo pusėje.
   • Mūsų pavyzdyje, padauginus, naudojant trupmeną 1, gauname 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Dvi trupmenas galima pridėti, jei jos turi tą patį vardiklį, todėl šią lygtį galime parašyti kaip (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6, nekeisdami jos vertės. Panaikinkite abi puses iš 6, kad panaikintumėte vardiklius, palikdami 2x + 3 = 3x + 1. Čia atimkite 1 iš abiejų pusių, kad liktų 2x + 2 = 3x, ir atimkite 2x iš abiejų pusių, kad liktų 2 = x, kurį taip pat galima parašyti kaip x = 2.
   • Mūsų pavyzdyje su kintamaisiais vardikliuose lygtis, padauginus kiekvieną terminą iš „1“, lygi 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Padauginus kiekvieną terminą iš LCM, galima panaikinti vardiklius, o dabar gauname 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Toliau paaiškinus, tai tampa 15x = 3x - 3 + 2x -2, kurį vėl galima supaprastinti kaip 15x = x - 5. Atimant x iš abiejų pusių, gaunama 14x = -5, kad galutinį atsakymą būtų galima supaprastinti iki x = - 5/14.

Patarimai

• Radę kintamojo vertę, patikrinkite savo atsakymą įvesdami šią vertę į pradinę lygtį. Jei gausite teisingo kintamojo vertę, turėtumėte sugebėti supaprastinti lygtį į paprastą, teisingą teoremą, pvz., 1 = 1.
• Kiekvieną lygtį galima užrašyti kaip racionalią išraišką; tiesiog padėkite jį kaip skaitiklį virš vardiklio 1. Taigi x + 3 lygtį galima parašyti kaip (x + 3) / 1, abu turi tą pačią reikšmę.