Kaip padalinti matricas

Video.: Algebra II 13.6C, Dividing matrices by using inverses

Turinys

Trumpa santrauka
Žingsniai
1 dalis iš 3: Matricų dalinamumo tikrinimas
2 dalis iš 3: Atvirkštinės matricos radimas
3 dalis iš 3: Matricos daugyba
Patarimai
Įspėjimai
Papildomi straipsniai

Jei žinote, kaip padauginti dvi matricas, galite pradėti „dalinti“ matricas. Žodis „padalijimas“ yra kabutėse, nes matricų iš tikrųjų negalima padalyti. Padalijimo operacija pakeičiama vienos matricos padauginimo iš matricos, kuri yra atvirkštinė antrosios matricos operacija. Kad būtų paprasčiau, apsvarstykite pavyzdį su sveikais skaičiais: 10 ÷ 5. Raskite abipusį 5: 5 arba /₅, o tada padalijimą pakeiskite daugyba: 10 x 5; padalijimo ir daugybos rezultatas bus tas pats. Todėl manoma, kad padalijimą galima pakeisti daugyba atvirkštine matrica. Paprastai tokie skaičiavimai naudojami sprendžiant tiesinių lygčių sistemas.

Trumpa santrauka

Jūs negalite padalinti matricų. Vietoj dalijimosi viena matrica padauginama iš antrosios matricos atvirkštinės. Dviejų matricų „padalijimas“ [A] ÷ [B] rašomas taip: [A] * [B] arba [B] * [A].
Jei matrica [B] nėra kvadratinė arba jos determinantas yra 0, užrašykite „nėra vienareikšmio sprendimo“. Priešingu atveju suraskite matricos [B] determinantą ir pereikite prie kito žingsnio.
Raskite atvirkštinę: [B].
Padauginkite matricas, kad rastumėte [A] * [B] arba [B] * [A]. Atminkite, kad matricų dauginimo tvarka turi įtakos galutiniam rezultatui (tai yra, rezultatai gali skirtis).

Žingsniai

1 dalis iš 3: Matricų dalinamumo tikrinimas

1 Suprasti matricų „padalijimą“. Tiesą sakant, matricų negalima padalyti. Nėra tokios matematinės operacijos kaip „vienos matricos padalijimas iš kitos“. Padalijimas pakeičiamas padauginus vieną matricą iš atvirkštinės antrosios matricos. Tai reiškia, kad žymėjimas [A] ÷ [B] yra neteisingas, todėl jis pakeičiamas tokiu užrašu: [A] * [B]. Kadangi skaliarinių reikšmių atveju abu įrašai yra lygiaverčiai, teoriškai galime kalbėti apie matricų „padalijimą“, tačiau vis tiek geriau naudoti teisingą terminiją.
- Atminkite, kad [A] * [B] ir [B] * [A] yra skirtingos operacijos. Norint rasti visus galimus sprendimus, gali tekti atlikti abi operacijas.
- Pavyzdžiui, vietoj ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 ir 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ užsirašyti ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Gali tekti skaičiuoti ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 ir 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ kad gautumėte kitokį rezultatą.
2 Įsitikinkite, kad matrica, pagal kurią „dalinate“ kitą matricą, yra kvadratinė. Norėdami apversti matricą (rasti matricos atvirkštinę versiją), ji turi būti kvadratinė, tai yra su tuo pačiu eilučių ir stulpelių skaičiumi. Jei apversta matrica nėra atvirkštinė, nėra aiškaus sprendimo.
- Vėlgi, matricos čia nėra „padalijamos“. Veikiant [A] * [B], aprašyta sąlyga nurodo matricą [B]. Mūsų pavyzdyje ši sąlyga reiškia matricą ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 ir 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Matrica, kurią galima apversti, vadinama neišsigimusiu arba taisyklingu. Matrica, kurios negalima apversti, vadinama išsigimusiu arba vienaskaita.
3 Patikrinkite, ar abi matricas galima padauginti. Norėdami padauginti dvi matricas, stulpelių skaičius pirmoje matricoje turi būti lygus antrosios matricos eilučių skaičiui. Jei ši sąlyga nėra įvykdyta įraše [A] * [B] arba [B] * [A], sprendimo nėra.
- Pavyzdžiui, jei matricos [A] dydis yra 4 x 3, o matricos [B] dydis yra 2 x 2, sprendimo nėra. Jūs negalite dauginti [A] * [B], nes 4 ≠ 2, ir jūs negalite dauginti [B] * [A], nes 2 ≠ 3.
- Atminkite, kad atvirkštinėje matricoje [B] visada yra toks pat eilučių ir stulpelių skaičius, kaip ir pradinėje matricoje [B]. Nebūtina rasti atvirkštinės matricos, kad būtų galima patikrinti, ar galima padauginti dvi matricas.
- Mūsų pavyzdyje abiejų matricų dydis yra 2 x 2, todėl jas galima padauginti bet kokia tvarka.
4 Raskite 2 × 2 matricos determinantą. Atminkite: matricą galite apversti tik tuo atveju, jei jos determinantas nėra lygus nuliui (kitaip jūs negalite apversti matricos). Štai kaip rasti 2 x 2 matricos determinantą:
- 2 x 2 matrica: matricos determinantas ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ yra lygus ad - bc. Tai yra, iš pagrindinės įstrižainės elementų sandauga (eina per viršutinį kairįjį ir apatinį dešinįjį kampą) atimkite kitos įstrižainės elementų gaminius (eina per viršutinį dešinįjį ir apatinį kairįjį kampą).
- Pavyzdžiui, matricos determinantas ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 ir 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ yra lygus (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Determinantas yra nulis, todėl šią matricą galima apversti.
5 Raskite didesnės matricos determinantą. Jei matricos dydis yra 3 x 3 ar daugiau, determinantą yra šiek tiek sunkiau apskaičiuoti.
- 3 x 3 matrica: pasirinkite bet kurį elementą ir perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriame jis yra.Raskite gautos 2 × 2 matricos determinantą, tada padauginkite jį iš pasirinkto elemento; nurodykite determinanto ženklą specialioje lentelėje. Pakartokite šį procesą kitiems dviem elementams, esantiems toje pačioje eilutėje ar stulpelyje kaip jūsų pasirinktas elementas. Tada raskite gautų (trijų) veiksnių sumą. Daugiau informacijos apie tai, kaip rasti 3 x 3 matricos determinantą, skaitykite šiame straipsnyje.
- Didelės matricos: tokių matricų determinantą geriausia ieškoti naudojant grafinę skaičiuoklę arba programinę įrangą. Metodas yra panašus į 3 × 3 matricos determinanto paieškos metodą, tačiau rankiniu būdu jį taikyti yra gana nuobodu. Pavyzdžiui, norėdami rasti 4 x 4 matricos determinantą, turite rasti keturių 3 x 3 matricų determinantus.
6 Tęskite skaičiavimus. Jei matrica nėra kvadratinė arba jos determinantas lygus nuliui, parašykite „nėra vienareikšmio sprendimo“, tai yra, skaičiavimo procesas baigtas. Jei matrica yra kvadratinė ir turi nulinį determinantą, pereikite prie kito skyriaus.

2 dalis iš 3: Atvirkštinės matricos radimas

1 Pakeiskite 2 x 2 matricos pagrindinės įstrižainės elementus. Turint 2 × 2 matricą, naudokite greitą atvirkštinį metodą. Pirmiausia pakeiskite viršutinį kairįjį elementą ir apatinį dešinįjį elementą. Pavyzdžiui:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 ir 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 ir 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Pastaba: dauguma žmonių naudoja skaičiuotuvus, norėdami apversti 3 x 3 (ar didesnę) matricą. Jei jums reikia tai padaryti rankiniu būdu, eikite į šio skyriaus pabaigą.
2 Nesikeiskite likusių dviejų elementų, bet pakeiskite jų ženklą. Tai yra, padauginkite viršutinį dešinįjį elementą ir apatinį kairįjį elementą iš -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 ir 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Raskite determinanto abipusiškumą. Šios matricos determinantas buvo rastas ankstesniame skyriuje, todėl mes jo dar kartą neskaičiuosime. Atvirkštinis determinantas rašomas taip: 1 / (determinantas):
- Mūsų pavyzdyje determinantas yra 13. Atvirkštinė vertė: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Padauginkite gautą matricą iš determinanto reciproko. Padauginkite kiekvieną naujos matricos elementą iš atvirkštinės determinantės. Galutinė matrica bus pradinės 2 x 2 matricos atvirkštinė:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} ir { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ir { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Patikrinkite, ar skaičiavimai teisingi. Norėdami tai padaryti, padauginkite pradinę matricą iš atvirkštinės. Jei skaičiavimai teisingi, pirminės matricos sandauga atvirkštine duos tapatybės matricą: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Jei bandymas buvo sėkmingas, pereikite prie kito skyriaus.
- Mūsų pavyzdyje: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} ir { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ir { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Norėdami gauti daugiau informacijos apie tai, kaip padauginti matricas, skaitykite šį straipsnį.
- Pastaba: matricos daugybos operacija nėra komutatyvi, tai yra, matricų tvarka yra svarbi. Bet kai pradinė matrica padauginama iš atvirkštinės, bet kokia tvarka lemia tapatybės matricą.
6 Raskite 3 x 3 matricos atvirkštinę versiją (arba didesnis). Jei esate susipažinę su šiuo procesu, geriau naudoti grafinę skaičiuoklę arba specialią programinę įrangą. Jei jums reikia rankiniu būdu rasti atvirkštinę matricą, procesas trumpai aprašytas toliau:
- Prisijunkite prie tapatybės matricos I dešinėje pradinės matricos pusėje. Pavyzdžiui, [B] → [B | Aš]. Tapatybės matricos atveju visi pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs 1, o visi kiti elementai - 0.
- Supaprastinkite matricą, kad jos kairioji pusė taptų laiptuota; toliau supaprastinkite, kad kairioji pusė taptų tapatybės matrica.
- Po supaprastinimo matrica bus tokia: [I | B]. Tai yra, jo dešinė pusė yra pradinės matricos atvirkštinė pusė.

3 dalis iš 3: Matricos daugyba

1 Užsirašykite dvi galimas išraiškas. Dviejų skaliarų dauginimo operacija yra komutatinė, tai yra, 2 x 6 = 6 x 2.Matricos daugybos atveju taip nėra, todėl gali tekti išspręsti dvi išraiškas:
- x = [A] * [B] yra lygties sprendimas x[B] = [A].
- x = [B] * [A] yra [B] lygties sprendimasx = [A].
- Atlikite kiekvieną matematinę operaciją abiejose lygties pusėse. Jei [A] = [C], tada [B] [A] ≠ [C] [B], nes [B] yra į kairę nuo [A], bet į dešinę nuo [C].
2 Nustatykite galutinės matricos dydį. Galutinės matricos dydis priklauso nuo padaugintų matricų dydžio. Galutinės matricos eilučių skaičius yra lygus pirmosios matricos eilučių skaičiui, o galutinės matricos stulpelių skaičius yra lygus antrosios matricos stulpelių skaičiui.
- Mūsų pavyzdyje abiejų matricų dydis ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 ir 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ ir ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} ir { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ir { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ yra 2 x 2, taigi pradinės matricos dydis bus 2 x 2.
- Apsvarstykite sudėtingesnį pavyzdį: jei matricos [A] dydis yra 4 x 3, o matricos [B] dydis yra 3 x 3, tada galutinė matrica [A] * [B] bus 4 x 3.
3 Raskite pirmojo elemento vertę. Perskaitykite šį straipsnį arba prisiminkite šiuos pagrindinius veiksmus:
- Norėdami rasti galutinės matricos [A] [B] pirmąjį elementą (pirmą eilutę, pirmąjį stulpelį), apskaičiuokite pirmosios matricos eilutės [A] elementų ir pirmojo matricos stulpelio elementų tašką [B] ]. 2 x 2 matricos atveju taškų sandauga apskaičiuojama taip: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Mūsų pavyzdyje: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} ir { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} ir { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Taigi pirmasis galutinės matricos elementas bus elementas:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Toliau skaičiuokite taškų produktus, kad surastumėte kiekvieną galutinės matricos elementą. Pavyzdžiui, elementas, esantis antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje, yra lygus antrosios matricos eilutės [A] ir pirmojo matricos [B] stulpelio taškų sandaugai. Pabandykite patys rasti likusius daiktus. Turėtumėte gauti šiuos rezultatus:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} ir { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} ir { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Jei reikia rasti kitą sprendimą: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} ir { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ir { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 pabaiga {pmatrix}}}$

Patarimai

Matricą galima suskirstyti į skaliarą; tam kiekvienas matricos elementas yra padalintas iš skaliaro.
- Pavyzdžiui, jei matrica ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ padalijus iš 2, gausite matricą ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 ir 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Įspėjimai

Skaičiuotuvas ne visada duoda absoliučiai tikslius rezultatus, kai reikia apskaičiuoti matricą. Pavyzdžiui, jei skaičiuotuvas teigia, kad elementas yra labai mažas (pvz., 2E), vertė greičiausiai yra lygi nuliui.