Turinys

• Žingsniai
• Patarimai

Racionalioji funkcija turi formą y = N (x) / D (x), kur N ir D yra daugianariai. Norint tiksliai nubraižyti tokią funkciją, jums reikia gerai išmanyti algebrą, įskaitant diferencialinius skaičiavimus. Apsvarstykite šį pavyzdį: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Žingsniai

1. 1 Raskite grafiko y pjūvį. Norėdami tai padaryti, pakeiskite x = 0 į funkciją ir gaukite y = 5/2. Taigi grafiko susikirtimo taškas su Y ašimi turi koordinates (0, 5/2).Padėkite šį tašką koordinačių plokštumoje.
2. 2 Raskite horizontalius asimptotus. Padalinkite skaitiklį iš vardiklio (stulpelyje), kad nustatytumėte „y“ elgesį, kai „x“ reikšmės yra linkusios į begalybę. Mūsų pavyzdyje skirstymas bus y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Didelėms teigiamoms arba neigiamoms „x“ reikšmėms 17 / (8x + 4) linkęs į nulį, o grafikas artėja prie funkcijos nurodytos tiesės y = (1/2)x - (7/4). Naudodami punktyrinę liniją nubrėžkite šią funkciją.
   • Jei skaitiklio laipsnis yra mažesnis už vardiklio laipsnį, tada jūs negalite padalinti skaitiklio iš vardiklio, o asimptotas bus aprašytas funkcija ne = 0.
   • Jei skaitiklio laipsnis yra lygus vardiklio laipsniui, tada asimptotas yra horizontali linija, lygi aukščiausio laipsnio koeficientų santykiui „x“.
   • Jei skaitiklio laipsnis yra 1 didesnis už vardiklio laipsnį, tada asimptotas yra pasvirusi tiesė, kurios nuolydis yra lygus koeficientų, esančių „x“, santykiui su aukščiausiu laipsniu.
   • Jei skaitiklio laipsnis yra didesnis už vardiklio laipsnį 2, 3 ir tt, tada didelėms vertėms |NS| reikšmę ne linkę į begalybę (teigiamą ar neigiamą) kvadrato, kubinio ar kitokio polinomo laipsnio pavidalu. Šiuo atveju greičiausiai jums nereikia kurti tikslios funkcijos grafiko, gauto dalijant skaitiklį iš vardiklio.
3. 3 Raskite funkcijos nulius. Racionalioji funkcija turi nulius, kai jo skaitiklis yra nulis, tai yra N (NS) = 0. Mūsų pavyzdyje 2x - 6x + 5 = 0. Šios kvadratinės lygties diskriminantas: b - 4ac = 6-4 * 2 * 5 = 36-40 = -4. Kadangi diskriminatorius yra neigiamas, tada N (NS), taigi ir F (NS) neturi tikrų šaknų. Racionalios funkcijos grafikas nesikerta su X ašimi.Jei funkcija turi nulius (šaknis), tada padėkite juos koordinačių plokštumoje.
4. 4 Raskite vertikalius asimptotus. Norėdami tai padaryti, nustatykite vardiklį į nulį. Mūsų pavyzdyje 4x + 2 = 0 ir NS = -1/2. Nubraižykite vertikalią asimptotą naudodami punktyrinę liniją. Jei už tam tikrą vertę NS N (NS) = 0 ir D (NS) = 0, tada vertikalus asimptotas arba egzistuoja, arba neegzistuoja (tai retas atvejis, bet geriau jį prisiminti).
5. 5 Pažvelkite į likusią skaitiklio dalį, padalytą iš vardiklio. Ar tai teigiama, neigiama ar nulis? Mūsų pavyzdyje likusi dalis yra 17, o tai yra teigiama. Vardiklis 4x + 2 teigiami vertikalios asimptotos dešinėje ir neigiami kairėje. Tai reiškia, kad racionalios funkcijos grafikas didelėms teigiamoms vertėms NS artėja prie asimptoto iš viršaus, ir dėl didelių neigiamų verčių NS - iš apačios. Nuo 17 / (8x + 4) niekada nėra lygus nuliui, tada šios funkcijos grafikas niekada nesikers funkcijos nurodytos tiesės ne = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Raskite vietinį kraštutinumą. Yra vietinis ekstremumas N '(x) D (x) - N (x) D “(x) = 0. Mūsų pavyzdyje N ’(x) = 4x - 6 ir D '(x) = 4. N ’(x) D (x) - N (x) D “(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. Išsprendę šią lygtį, pamatysite, kad x = 3/2 ir x = -5/2. (Tai nėra visiškai tikslios vertės, tačiau jos tinka mūsų atvejui, kai nereikia didelio tikslumo.)
7. 7 Raskite vertę ne kiekvienam vietiniam kraštutinumui. Norėdami tai padaryti, pakeiskite vertes NS į pradinę racionalią funkciją. Mūsų pavyzdyje f (3/2) = 1/16 ir f (-5/2) = -65/16. Atidėkite taškus (3/2, 1/16) ir (-5/2, -65/16) koordinačių plokštumoje. Kadangi skaičiavimai grindžiami apytikslėmis vertėmis (iš ankstesnio žingsnio), nustatytas minimalus ir maksimalus taip pat nėra visiškai tikslūs (bet tikriausiai labai artimi tikslioms vertėms). (Taškas (3/2, 1/16) yra labai artimas vietiniam minimumui. Nuo 3 žingsnio mes tai žinome ne visada teigiamas NS> -1/2, ir mes nustatėme nedidelę vertę (1/16); taigi šiuo atveju klaidos vertė yra labai maža.)
8. 8 Prijunkite laukiančius taškus ir sklandžiai išplėskite grafiką iki asimptotų (nepamirškite apie teisingą grafiko kryptį, artėjančią prie asimptotų). Atminkite, kad grafikas neturi kirsti X ašies (žr. 3 veiksmą). Diagrama taip pat nesikerta su horizontaliais ir vertikaliais asimptotais (žr. 5 veiksmą). Nekeiskite diagramos krypties, išskyrus tuos kraštutinius taškus, kurie buvo rasti ankstesniame žingsnyje.

Patarimai

• Jei griežtai atlikote aukščiau nurodytus veiksmus, kad išbandytumėte tirpalą, nereikia skaičiuoti antrųjų išvestinių (ar panašių sudėtingų kiekių).
• Jei jums nereikia apskaičiuoti kiekių reikšmių, vietinių kraštutinumų radimą galite pakeisti apskaičiuodami keletą papildomų koordinačių porų (NS, ne) tarp kiekvienos asimptotų poros. Be to, jei jums nerūpi aprašyto metodo veikimas, nenustebkite, kodėl negalite rasti išvestinės ir išspręsti lygties N '(x) D (x) - N (x) D “(x) = 0.
• Kai kuriais atvejais turėsite dirbti su aukštesnės eilės polinomais. Jei nerandate tikslaus sprendimo naudodami faktorizavimą, formules ir pan., Įvertinkite galimus sprendimus naudodami skaitmeninius metodus, tokius kaip Niutono metodas.
• Retais atvejais skaitiklis ir vardiklis turi bendrą kintamąjį veiksnį. Remiantis aprašytais veiksmais, toje pačioje vietoje bus nulis ir vertikalus asimptotas. Tačiau tai neįmanoma, o paaiškinimas yra vienas iš šių:
  • Nulis N (NS) yra daug kartų didesnis nei nulis D (NS). F grafikas (NS) šiuo metu linkęs į nulį, bet ten nėra apibrėžtas. Tai nurodykite nupiešdami apskritimą aplink tašką.
  • Nulis N (NS) ir nulis D (NS) turi tą patį įvairovę. Grafikas prie šios vertės priartėja prie kai kurių nulio taškų NSbet jame neapibrėžta. Tai nurodykite nupiešdami apskritimą aplink tašką.
  • Nulis N (NS) yra mažesnis daugyba nei nulis D (NS). Čia yra vertikalus asimptotas.