Turinys

• Žingsniai
• 1 dalis iš 3: Skaičių ir kvadratinių šaknų kvadratų supratimas
• 2 dalis iš 3: ilgojo padalijimo algoritmo naudojimas
• 3 dalis iš 3: Greitas neišsamių kvadratų skaičiavimas
• Patarimai

Nors bauginanti kvadratinės šaknies simbolio išvaizda gali sugluminti žmogų, kuris nemoka matematikos, kvadratinių šaknų problemos nėra tokios sunkios, kaip gali atrodyti iš pradžių. Paprastos kvadratinių šaknų problemos dažnai gali būti išspręstos taip pat lengvai, kaip ir įprastos daugybos ar padalijimo problemos. Kita vertus, sudėtingesnės užduotys gali pareikalauti tam tikrų pastangų, tačiau tinkamai pasirinkus, net ir jos jums nebus sunkios. Pradėkite spręsti šaknis šiandien, kad išmoktumėte šį radikaliai naują matematikos įgūdį!

Žingsniai

1 dalis iš 3: Skaičių ir kvadratinių šaknų kvadratų supratimas

1. 1 Skaičių kvadratu padauginkite iš savęs. Norėdami suprasti kvadratines šaknis, geriausia pradėti nuo skaičių kvadrato. Skaičiuoti kvadratus yra gana paprasta: skaičiaus kvadratavimas reiškia jo dauginimąsi. Pvz., 3 kvadratai yra tokie patys kaip 3 × 3 = 9, o 9 kvadratai yra tokie patys kaip 9 × 9 = 81. Kvadratai pažymimi rašant mažą skaičių „2“ dešinėje virš kvadrato skaičiaus. Pavyzdys: 3, 9, 100 ir pan.
   • Pabandykite patys suskaičiuoti dar kelis skaičius, kad išbandytumėte šią koncepciją. Atminkite, kad skaičiaus kvadratavimas reiškia, kad skaičius turėtų būti dauginamas pats. Tai galima padaryti net neigiamiems skaičiams. Tokiu atveju rezultatas visada bus teigiamas. Pavyzdžiui: -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 Kalbant apie kvadratines šaknis, procesas pakeičiamas kvadratu. Šakninis simbolis (√, dar vadinamas radikaliuoju) iš esmės reiškia priešingą simboliui. Pamatę radikalą, turite savęs paklausti: "Koks skaičius gali daugintis pats, kad gautų skaičių po šaknimi?" Pvz., Jei matote √ (9), tuomet turite rasti skaičių, kuris kvadratu padėtų devynis. Mūsų atveju šis skaičius būtų trys, nes 3 = 9.
   • Apsvarstykite kitą pavyzdį ir raskite 25 šaknį (√ (25)). Tai reiškia, kad turime rasti skaičių, kuris kvadratu duotų 25. Kadangi 5 = 5 × 5 = 25, galime pasakyti, kad √ (25) = 5.
   • Taip pat galite galvoti apie tai kaip „panaikinti“ kvadratą. Pavyzdžiui, jei mums reikia rasti √ (64), kvadratinę šaknį iš 64, tai pagalvokime apie šį skaičių kaip 8. Kadangi šaknies simbolis „panaikina“ kvadratą, galime pasakyti, kad √ (64) = √ (8) ) = 8.
3. 3 Žinokite skirtumą tarp tobulo ir ne tobulo kvadrato. Iki šiol atsakymai į mūsų problemas su šaknimi buvo geri ir apvalūs skaičiai, tačiau tai ne visada. Atsakymai į kvadratinių šaknų problemas gali būti labai ilgi ir nepatogūs dešimtainiai skaičiai. Skaičiai, kurių šaknis yra sveikieji skaičiai (kitaip tariant, skaičiai, kurie nėra trupmenos), vadinami tobulais kvadratais. Visi aukščiau pateikti pavyzdžiai (9, 25 ir 64) yra tobuli kvadratai, nes jų šaknis bus sveikasis skaičius (3,5 ir 8).
   • Kita vertus, skaičiai, kurie, paimti į šaknį, nesuteikia sveiko skaičiaus, vadinami neišsamiais kvadratais. Jei įdėsite vieną iš šių skaičių po šaknimi, gausite skaičių su dešimtaine trupmena. Kartais šis skaičius gali būti gana ilgas. Pavyzdžiui, √ (13) = 3,605551275464 ...
4. 4 Įsiminkite pirmuosius 1–12 kvadratų. Kaip jūs tikriausiai jau pastebėjote, rasti visiškai kvadrato šaknį yra gana paprasta! Kadangi šios užduotys yra tokios lengvos, verta prisiminti pirmųjų dešimčių pilnų kvadratų šaknis. Su šiais skaičiais susidursite ne vieną kartą, todėl skirkite šiek tiek laiko juos įsiminti anksti ir sutaupykite laiko ateityje.
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 Supaprastinkite šaknis, jei įmanoma, pašalindami iš jo visus kvadratus. Nepilno kvadrato šaknies paieška kartais gali būti sudėtinga, ypač jei nenaudojate skaičiuoklės (žr. Toliau pateiktą skyrių, kuriame rasite keletą gudrybių, palengvinančių šį procesą). Tačiau dažnai galite supaprastinti skaičių po šaknimi, kad būtų lengviau dirbti. Norėdami tai padaryti, jums tiesiog reikia apskaičiuoti skaičių po šaknimi, tada surasti veiksnio šaknį, kuri yra tobulas kvadratas, ir parašyti ją už šaknies. Tai lengviau nei atrodo.Norėdami gauti daugiau informacijos, skaitykite toliau.
   • Tarkime, kad turime rasti kvadratinę šaknį 900. Iš pirmo žvilgsnio tai atrodo gana nelengva užduotis! Tačiau tai nebus taip sunku, jei skaičių 900 padalinsime iš veiksnių. Daugikliai yra skaičiai, kurie padauginami vienas nuo kito, kad gautų naują skaičių. Pavyzdžiui, skaičių 6 galima gauti padauginus 1 × 6 ir 2 × 3, jo koeficientai bus skaičiai 1, 2, 3 ir 6.
   • Užuot ieškoję 900 šaknies, kuri yra šiek tiek sudėtinga, parašykime 900 kaip 9 × 100. Dabar, kai 9, kuris yra tobulas kvadratas, yra atskirtas nuo 100, galime rasti jo šaknį. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Kitaip tariant, √ (900) = 3√ (100).
   • Mes netgi galime eiti dar toliau, padaliję 100 iš dviejų veiksnių, 25 ir 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Taigi galime pasakyti: kad √ (900) = 3 (10) = 30
6. 6 Naudokite įsivaizduojamus skaičius, kad surastumėte neigiamo skaičiaus šaknį. Paklauskite savęs, koks skaičius, padauginus iš jo, duos -16? Tai nėra 4 ar -4, nes sulyginus šiuos skaičius, gausime teigiamą skaičių 16. Pasiduoti? Tiesą sakant, nėra galimybės parašyti šaknies -16 ar bet kurio kito neigiamo skaičiaus įprastais skaičiais. Tokiu atveju mes turime pakeisti įsivaizduojamus skaičius (dažniausiai raidžių ar simbolių pavidalu), kad jie atsirastų vietoj neigiamo skaičiaus šaknies. Pavyzdžiui, kintamasis „i“ paprastai naudojamas šaknims -1. Paprastai neigiamo skaičiaus šaknis visada bus įsivaizduojamas skaičius (arba įtrauktas į jį).
   • Atminkite, kad nors įsivaizduojamų skaičių negalima pavaizduoti paprastais skaičiais, jie vis tiek gali būti traktuojami kaip tokie. Pvz., Neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį galima kvadratu, kad šie neigiami skaičiai, kaip ir bet kuris kitas, gautų kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui, i = -1

2 dalis iš 3: ilgojo padalijimo algoritmo naudojimas

1. 1 Užrašykite šaknies problemą kaip ilgo padalijimo problemą. Nors tai gali užtrukti daug laiko, tokiu būdu galite išspręsti neišsamią kvadratinių šaknų problemą nesinaudodami skaičiuotuvu. Norėdami tai padaryti, naudosime sprendimo metodą (arba algoritmą), kuris yra panašus (bet ne visiškai vienodas) į įprastą ilgą padalijimą.
   • Pirmiausia užrašykite šaknies problemą tokia pačia forma, kaip ir ilgai dalijantis. Tarkime, kad norime rasti kvadratinę šaknį 6,45, kuri nėra visiškai tobulas kvadratas. Pirmiausia parašysime įprastą kvadrato simbolį, o po juo - skaičių. Toliau virš skaičiaus nubrėžkime liniją, kad ji pasirodytų mažoje „dėžutėje“, kaip ir ilgoje dalyse. Po to mes turime šaknį su ilga uodega ir 6,45 skaičių žemiau.
   • Skaičius rašysime virš šaknies, todėl būtinai palikite šiek tiek vietos.
2. 2 Sugrupuokite skaičius poromis. Norėdami pradėti spręsti problemą, turite sugrupuoti skaičiaus skaitmenis po radikalu poromis, pradedant nuo kablelio. Jei norite, galite sudaryti nedideles žymes (pvz., Taškus, įstrižas linijas, kablelius ir tt), kad išvengtumėte painiavos.
   • Mūsų pavyzdyje skaičių 6,45 turime suporuoti taip: 6-, 45-00. Atminkite, kad kairėje yra „likęs“ skaitmuo - tai normalu.
3. 3 Raskite didžiausią skaičių, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus pirmajai „grupei“. Pradėkite nuo pirmojo numerio ar poros kairėje. Pasirinkite didžiausią skaičių, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus likusiai „grupei“. Pavyzdžiui, jei grupei priklausytų 37, pasirinktumėte skaičių 6, nes 6 = 36 37 ir 7 = 49> 37. Parašykite šį skaičių virš pirmosios grupės. Tai bus pirmasis jūsų atsakymo numeris.
   • Mūsų pavyzdyje pirmoji 6-, 45-00 grupė bus skaičius 6. Didžiausias skaičius, mažesnis arba lygus 6 kvadrate, yra 2 = 4. Parašykite skaičių 2 virš skaičiaus 6 po šaknimi .
4. 4 Padvigubinkite ką tik parašytą skaičių, tada šaknis ir atimkite. Paimkite pirmąjį atsakymo skaitmenį (ką tik rastą skaičių) ir padvigubinkite. Parašykite rezultatą po pirmąja grupe ir atimkite, kad surastumėte skirtumą. Šalia atsakymo numeskite porą kitų skaičių. Galiausiai kairėje parašykite paskutinį dvigubą pirmojo atsakymo skaitmens skaitmenį ir palikite tarpą.
   • Mūsų pavyzdyje pradėsime padvigubinti skaičių 2, kuris yra pirmasis mūsų atsakymo skaičius. 2 × 2 = 4.Tada iš 6 atimame 4 (mūsų pirmoji „grupė“), gauname 2. Tada praleidžiame kitą grupę (45), kad gautume 245. Ir galiausiai kairėje pusėje vėl parašysime skaičių 4, palikdami mažą tarpą pabaiga, štai taip: 4_
5. 5 Prašome užpildyti tuščią vietą. Tada turite pridėti skaitmenį dešinėje įrašyto numerio pusėje, kuri yra kairėje. Pasirinkite skaitmenį, padauginę jį iš naujo gavę didžiausią įmanomą rezultatą, bet kuris būtų mažesnis arba lygus „praleistam“ skaičiui. Pvz., Jei jūsų „praleistas“ skaičius yra 1700, o kairėje - 40_, turite tarpe įrašyti skaičių 4, nes 404 × 4 = 1616 1700, o 405 × 5 = 2025. Skaitmuo rastas šiame žingsnyje ir bus antrasis jūsų atsakymo skaitmuo, todėl galite jį parašyti virš pagrindinio ženklo.
   • Mūsų pavyzdyje turime rasti skaičių ir parašyti jį 4_ × _ tarpus, todėl atsakymas bus kuo didesnis, bet vis tiek mažesnis arba lygus 245. Mūsų atveju jis yra 5. 45 × 5 = 225, o 46 × 6 = 276
6. 6 Norėdami rasti atsakymą, toliau naudokite tuščius skaičius. Toliau spręskite šį modifikuotą ilgą padalijimą, kol atimdami „praleistą“ skaičių pradėsite gauti nulius arba kol gausite norimą tikslumo lygį. Kai baigsite, skaičiai, kuriuos naudojote užpildydami tuščias vietas kiekviename žingsnyje (plius pirmasis skaičius), sudarys jūsų atsakymo skaičių.
   • Tęsdami savo pavyzdį, iš 245 atimame 225, kad gautume 20. Tada mes numesime kitą skaičių porą 00, kad gautume 2000. Padvigubinkite skaičių virš pagrindinio ženklo. Gauname 25 × 2 = 50. Išsprendę pavyzdį su tarpais, 50_ × _ = / 2000, gausime 3. Šiame etape 253 parašysime virš radikalų, ir dar kartą pakartojant šį procesą, kitas mūsų skaičius bus 9 .
7. 7 Perkelkite dešimtainį tašką į priekį nuo pradinio dividendų skaičiaus. Norėdami atsakyti, turite dešimtainį tašką įdėti į teisingą vietą. Laimei, tai padaryti yra gana paprasta. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai suderinti jį su pradiniu skaičiaus tašku. Pvz., Jei skaičius 49,8 yra po šaknimi, tarp dviejų skaičių, esančių virš devynių ir aštuonių, turėsite uždėti tašką.
   • Mūsų pavyzdyje pagal radikalą yra 6,45, todėl mes tiesiog perkeliame tašką ir padedame jį tarp 2 ir 5 savo atsakyme ir gauname 2,539 atsakymą.

3 dalis iš 3: Greitas neišsamių kvadratų skaičiavimas

1. 1 Raskite neišsamius kvadratus juos suskaičiuodami. Kai įsiminsite visus kvadratus, surasti neišsamių kvadratų šaknį bus daug lengviau. Kadangi jau žinote keliolika tobulų kvadratų, bet kokį skaičių, patenkantį į plotą tarp šių dviejų pilnų kvadratų, galima rasti sumažinus viską iki apytikslio skaičiaus tarp šių verčių. Pradėkite ieškodami dviejų pilnų kvadratų, tarp kurių yra jūsų skaičius. Tada nustatykite, kuriam iš šių skaičių jūsų numeris yra arčiau.
   • Pavyzdžiui, tarkime, kad turime rasti kvadratinę šaknį 40. Kadangi įsiminėme tobulus kvadratus, galime pasakyti, kad 40 yra nuo 6 iki 7 arba 36 ir 49. Kadangi 40 yra didesnis nei 6, jo šaknis bus didesnė nei 6 , ir kadangi jis yra mažesnis nei 7, jo šaknis taip pat bus mažesnė nei 7. 40 yra šiek tiek arčiau 36 nei 49, todėl atsakymas greičiausiai bus šiek tiek arčiau 6. Kituose kituose žingsniuose mes susiaurinsime savo atsakyk.
2. 2 Apskaičiuokite kvadratinę šaknį iki pirmojo skaičiaus po kablelio. Kai pasirinksite du pilnus kvadratus, tarp kurių yra jūsų skaičius, viskas priklauso nuo jūsų skaičiaus, kol gausite norimą atsakymą. Kuo daugiau skaičiuosite, tuo tikslesnis bus jūsų atsakymas. Pradėkite pasirinkdami, kur atsakyme įdėti dešimtainį tašką. Ji neturi būti teisinga, tačiau sutaupys laiko, jei naudosite logiką ir padarysite galą kuo arčiau teisingo atsakymo.
   • Mūsų pavyzdyje pagrįstas kvadratinės šaknies 40 įvertinimas gali būti 6,4, nes iš aukščiau pateiktos informacijos žinome, kad atsakymas yra arčiau 6 nei 7.
3. 3 Padauginkite apytikslį skaičių. Kitas dalykas, kurį turėtumėte padaryti, yra suapvalinti apytikslį skaičių. Greičiausiai jums nepasisekė ir negausite pradinio numerio. Jis bus šiek tiek didesnis arba šiek tiek mažesnis.Jei jūsų rezultatas yra per aukštas, bandykite dar kartą, bet su šiek tiek mažesniu įvertinimu (ir atvirkščiai, jei rezultatas per mažas).
   • Padauginkite 6,4 savaime ir gausite 6,4 x 6,4 = 40,96, tai yra šiek tiek daugiau nei pradinis skaičius.
   • Kadangi mūsų atsakymas pasirodė didesnis, turėtume skaičių padauginti iš dešimtosios dalies iš apytikslės ir gauti: 6,3 × 6,3 = 39,69. Tai šiek tiek mažiau nei pradinis skaičius. Tai reiškia, kad kvadratinė šaknis iš 40 yra nuo 6,3 iki 6,4. Vėlgi, kadangi 39,69 yra arčiau 40 nei 40,96, žinome, kad kvadratinė šaknis bus arčiau 6,3 nei 6,4.
4. 4 Tęskite skaičiavimą. Šiuo metu, jei esate patenkintas savo atsakymu, galite tiesiog atspėti pirmą spėjimą. Tačiau, jei norite tikslesnio atsakymo, jums tereikia pasirinkti apytikslę vertę su dviem kableliais, kad ši apytikslė vertė būtų tarp pirmųjų dviejų skaičių. Tęsdami šį skaičių, už atsakymą galite gauti tris, keturis ar daugiau skaičių po kablelio. Viskas priklauso nuo to, kiek norite nueiti.
   • Pavyzdžiui, apytikslę reikšmę su dviem dešimtainiais skaičiais pasirinkite 6,33. Padauginkite iš 6.33, kad gautumėte 6,33 × 6,33 = 40,0689. kadangi tai yra šiek tiek daugiau nei mūsų skaičius, imsimės mažesnio skaičiaus, pavyzdžiui, 6.32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Šis atsakymas yra šiek tiek mažesnis už mūsų skaičių, todėl žinome, kad tiksli kvadratinė šaknis yra nuo 6,32 iki 6,33. Jei norėtume tęsti, ir toliau taikytume tą patį metodą, kad gautume vis tikslesnį atsakymą.

Patarimai

• Norėdami greitai rasti sprendimą, naudokite skaičiuotuvą. Dauguma šiuolaikinių skaičiuotuvų gali iš karto rasti skaičiaus kvadratinę šaknį. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai įvesti savo numerį ir spustelėti šakninį mygtuką. Pavyzdžiui, norėdami rasti šaknį 841, turėsite paspausti 8, 4, 1 ir (√). Dėl to gausite 39 atsakymą.