Turinys

• Žengti
• 1 metodas iš 2: šaknies traukimas su pagrindiniais veiksniais
• 2 metodas iš 2: rasti kvadratines šaknis be skaičiuoklės
• Su ilgu dalijimu
• Supraskite procedūrą
• Patarimai
• Įspėjimai

Prieš atsirandant skaičiuotuvams, tiek studentai, tiek profesoriai turėjo suskaičiuoti kvadratines šaknis rašikliu ir popieriumi. Tuo metu buvo sukurtos įvairios technikos, kaip išspręsti šį kartais sunkų darbą, iš kurių vieni pateikia apytikslį įvertinimą, o kiti apskaičiuoja tikslią vertę. Skaitykite toliau, kad sužinotumėte, kaip atlikti skaičiaus kvadratinę šaknį atlikdami kelis paprastus veiksmus.

Žengti

1 metodas iš 2: šaknies traukimas su pagrindiniais veiksniais

1. Padalinkite savo skaičių į galios koeficientus. Šis metodas naudoja skaičiaus veiksnius, kad surastų skaičiaus kvadratinę šaknį (priklausomai nuo skaičiaus, tai gali būti tikslus atsakymas arba įvertis). faktoriai nurodyto skaičiaus yra bet kuri skaičių seka, padauginta kartu, kad būtų suformuotas tas konkretus skaičius. Pavyzdžiui, galite sakyti, kad koeficientai 8 yra lygūs 2 ir 4, nes 2 × 4 = 8. Kita vertus, tobulieji kvadratai yra sveiki skaičiai, kurie yra kitų sveikųjų skaičių sandauga. Pavyzdžiui, 25, 36 ir 49 yra puikūs kvadratai, nes jie lygūs atitinkamai 5, 6 ir 7. Antrieji galios koeficientai, kaip jūs supratote, yra veiksniai, kurie taip pat yra tobuli kvadratai. Norėdami rasti kvadratinę šaknį naudodami pagrindinius veiksnius, pirmiausia pabandykite skaičių padalyti į antruosius galios koeficientus.
   • Paimkite šį pavyzdį. Mes rasime kvadratinę šaknį iš 400. Pirmiausia skaičių padalijame į galios koeficientus. Kadangi 400 yra 100 kartotinis, žinome, kad jis yra tolygiai dalijamas iš 25 - tobulo kvadrato. Greitas posakis mums sako, kad 400/25 = 16,16 taip pat yra puikus kvadratas. Taigi kubo koeficientai yra 400 25 ir 16 nes 25 × 16 = 400.
   • Mes tai rašome: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Paimkite savo antrųjų galios faktorių kvadratines šaknis. Kvadratinių šaknų sandaugos taisyklė nurodo, kad bet kuriam nurodytam skaičiui a ir b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Dėl šios savybės dabar galime paimti kvadratinių veiksnių kvadratines šaknis ir jas padauginti, kad gautume atsakymą.
   • Mūsų pavyzdyje paimame kvadratines šaknis iš 25 ir 16. Žr. Žemiau:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Jei jūsų numerio neįmanoma tiksliai apskaičiuoti, supaprastinkite jį. Iš tikrųjų skaičiai, kurių kvadratines šaknis norite nustatyti, nebus gražūs suapvalinti skaičiai su gražiais kvadratais, pavyzdžiui, 400. Tokiais atvejais atsakymo gali būti neįmanoma gauti iš viso skaičiaus. Vietoj to, naudodami visus galimus veiksnius, galite nustatyti atsakymą kaip mažesnę, lengviau naudojamą kvadratinę šaknį. Tai darote sumažindami skaičių iki galios ir kitų veiksnių derinio, o tada supaprastindami.
   • Kaip pavyzdį paimame 147 kvadratinę šaknį. 147 nėra dviejų tobulų kvadratų sandauga, todėl negalime gauti gražios sveikojo skaičiaus vertės. Bet tai yra tobulo kvadrato ir kito skaičiaus sandauga - 49 ir ​​3. Mes galime naudoti šią informaciją atsakymui užrašyti paprasčiausiais žodžiais:
     • Sqrt (147)
     • = Kvadratas (49 × 3)
     • = Kvadratas (49) × kvadratas (3)
     • = 7 × kvadratas (3)
4. Jei reikia, supaprastinkite. Naudojant kvadratinę šaknį paprasčiausiais terminais, paprastai gana lengva gauti apytikrį atsakymo įvertinimą, įvertinant likusias kvadratines šaknis ir jas padauginus. Vienas iš būdų pagerinti spėjimus yra rasti puikius kvadratus iš abiejų jūsų kvadratinės šaknies skaičiaus pusių. Jūs žinote, kad skaičiaus dešimtainė reikšmė jūsų kvadratinėje šaknyje yra kažkur tarp šių dviejų skaičių, todėl jūsų spėjimas taip pat turės būti tarp šių skaičių.
   • Grįžkime prie savo pavyzdžio. Kadangi 2 = 4 ir 1 = 1, žinome, kad Sqrt (3) yra tarp 1 ir 2 - tikriausiai arčiau 2 nei 1. Mes vertiname, kad 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Jei tai patikrinsime skaičiuokle, pamatysime, kad esame gana arti atsakymo: 12,13.
     • Tai tinka ir didesniems skaičiams. Pavyzdžiui, sqrt (35) yra maždaug nuo 5 iki 6 (tikriausiai arčiau 6). 5 = 25 ir 6 = 36,35 yra tarp 25 ir 36, taigi kvadratinė šaknis bus tarp 5 ir 6. Kadangi 35 yra šiek tiek žemiau 36, galime drąsiai pasakyti, kad kvadratinė jo šaknis tiesiog yra mažesnis nei 6. Patikrinę skaičiuotuvu atsakome maždaug 5,92 - buvome teisūs.
5. Arba pirmiausia galite supaprastinti skaičių mažiausiai bendras kartotinis. Galios koeficientų ieškoti nereikia, jei galite lengvai rasti skaičiaus pirminius koeficientus (veiksnius, kurie tuo pačiu metu yra ir pirminiai skaičiai). Parašykite skaičių iš mažiausiai paplitusių kartotinių. Tada ieškokite tarp veiksnių, kad atitiktų pirminių skaičių poras. Radę du pagrindinius atitinkančius veiksnius, pašalinkite juos iš kvadratinės šaknies ir padėkite a iš šių skaičių už kvadratinės šaknies ženklo.
   • Pavyzdžiui, šiuo metodu nustatome 45 kvadratinę šaknį. Mes žinome, kad 45 = 9 × 5 ir kad 9 = 3 × 3. Taigi kvadratinę šaknį galime parašyti taip: Sqrt (3 × 3 × 5). Tiesiog ištrinkite 3 ir padėkite 3 už kvadratinės šaknies, kad gautumėte supaprastintą kvadratinę šaknį: (3) Sqrt (5). Dabar galite lengvai apskaičiuoti.
   • Paskutinis pavyzdys; mes nustatome 88 kvadratinę šaknį:
     • Kv. (88)
     • = Kvadratas (2 × 44)
     • = Kvadratas (2 × 4 × 11)
     • = Kvadratas (2 × 2 × 2 × 11). Mūsų kvadratinėje šaknyje yra keli 2. Kadangi 2 yra pagrindinis, mes galime pašalinti porą ir įdėti 2 už šaknies.
     • = Mūsų kvadratinė šaknis paprasčiausia yra (2) Sqrt (2 × 11) arba (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Dabar, jei norėtume, galime kreiptis į „Sqrt“ (2) ir „Sqrt“ (11) ir rasti apytikslį atsakymą.

2 metodas iš 2: rasti kvadratines šaknis be skaičiuoklės

Su ilgu dalijimu

1. Padalinkite savo skaičiaus skaitmenis į poras. Šis metodas yra panašus į ilgą dalijimą, kuris leidžia jums padalinti tiksli skaitmens skaitmens kvadratas šaknis kvadratas. Nors tai nėra būtina, suskaidžius skaičių į veikiančius gabalus, lengviau juos išspręsti, ypač jei jis ilgas. Pirmiausia nubrėžkite vertikalią liniją, padalijusią darbo zoną į 2 sritis, tada trumpesnę liniją šalia dešinės srities viršaus, padalydami ją į mažesnę viršutinę dalį ir didesnę dalį žemiau. Tada padalykite skaičių į skaičių poras, pradedant nuo kablelio. Pagal šią taisyklę 79520789182.47897 tampa „7 95 20 78 91 82.47 89 70“. Parašykite šį skaičių viršutiniame kairiajame plote.
   • Apskaičiuokime kvadratinę šaknį 780,14. Padalinkite darbo vietą, kaip nurodyta aukščiau, ir viršutiniame kairiajame kampe užrašykite „7 80, 14“. Gerai, jei kairiajame kairiajame kampe yra tik vienas skaičius, o ne du. Tada dešinės srities viršuje parašote atsakymą (kvadratinė šaknis 780,14).
2. Raskite didžiausią sveikąjį skaičių n kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus kairiausiam skaitmeniui ar skaičiui. Raskite didžiausią kvadratą, kuris yra mažesnis arba lygus šiam skaičiui, tada raskite šio kvadrato kvadratinę šaknį. Šis skaičius yra n. Parašykite tai viršutiniame dešiniajame plote, o apatiniame tos srities kvadrante užrašykite n kvadratą.
   • Mūsų pavyzdyje kairysis skaitmuo yra skaičius 7. Kadangi žinome, kad 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, galime sakyti, kad n = 2, nes tai yra didžiausias sveikasis skaičius, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus 7. Viršutiniame dešiniajame kvadrante užrašykite 2. Tai yra pirmasis atsakymo skaitmuo. Apatiniame dešiniajame kvadrante užrašykite 4 (2 kvadratas). Šis skaičius yra svarbus kitam žingsniui.
3. Atimkite apskaičiuotą skaičių kairiausio skaičiaus ar skaičiaus. Kaip ir ilgo dalijimo atveju, kitas žingsnis yra kvadrato atėmimas iš skaičiaus, kurį ką tik naudojome skaičiuojant. Užrašykite šį skaičių po kairiausiu skaičiumi ir atimkite juos. Parašykite atsakymą žemiau.
   • Mūsų pavyzdyje parašome 4 pagal 7 ir atimame. Tai duoda 3 atsakant.
4. Perkelkite kitą skaičių žemyn. Padėkite tai šalia vertės, kurią radote ankstesniame redagavime. Padauginkite skaičių viršuje dešinėje iš dviejų ir užrašykite apačioje dešinėje. Palikite vietos šalia ką tik užrašyto numerio sumai, kurią atliksite kitame žingsnyje. Parašykite čia "_ × _ =" ".
   • Mūsų pavyzdyje kitas skaičius yra „80“. Kairiajame kvadrante šalia 3 parašykite „80“. Tada padauginkite skaičių viršuje dešinėje iš 2. Šis skaičius yra 2, taigi 2 × 2 = 4. Apatiniame dešiniajame kampe užrašykite „4“, po kurio _×_=.
5. Įveskite skaičius dešinėje. Tuščioje sumos vietoje (dešinėje) įveskite didžiausią sveikąjį skaičių, dėl kurio dešinėje esančios daugybos sumos rezultatas bus mažesnis arba lygus dabartiniam kairiajam skaičiui.
   • Mūsų pavyzdyje įvedame 8, o tai duoda 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Tai yra daugiau nei 380. Taigi 8 yra per didelis, bet 7 tikriausiai nėra. Užpildykite 7 ir išspręskite: 4 (7) × 7 = 329. 7 yra gerai, nes 329 yra mažesnis nei 380. Viršuje dešinėje parašykite 7. Tai yra antras skaitmuo 780,14 kvadratinėje šaknyje.
6. Iš kairėje esamo skaičiaus atimkite ką tik apskaičiuotą skaičių. Taigi iš dabartinio atsakymo kairėje atimate dauginimo dešinėje rezultatą. Parašykite savo atsakymą tiesiai po juo.
   • Mūsų pavyzdyje atimame 329 iš 380 ir tai duoda 51 kaip rezultatas.
7. Pakartokite 4 veiksmą. Perkelkite kitą skaičių porą nuo 780,14. Kai atvyksite į kablelį, parašykite tą kablelį atsakyme dešinėje. Tada padauginkite viršutinį dešinįjį skaičių iš 2 ir atsakymą parašykite šalia („_ × _“), kaip nurodyta aukščiau.
   • Atsakyme dabar rašome kablelį, nes taip pat susiduriame su 780.14. Kitą porą (14) perkelkite kairiuoju kvadratu. 27 x 2 = 54, todėl apatiniame dešiniajame kvadrante užrašome „54 _ × _ =“.
8. Pakartokite 5 ir 6 veiksmus. Raskite didžiausią skaičių, suteikiantį atsakymą, kuris yra mažesnis arba lygus dabartiniam kairiajame skaičiui. Išspręskite.
   • Mūsų pavyzdyje 549 × 9 = 4941, kuris yra mažesnis arba lygus skaičiui kairėje (5114). 549 × 10 = 5490, kuris yra per didelis, taigi 9 yra mūsų atsakymas. Parašykite 9 kaip kitą viršutinį dešinįjį skaičių ir atimkite dauginimo rezultatą iš kairio skaičiaus: 5114 -4941 = 173.
9. Kad rezultatas būtų tikslus, pakartokite ankstesnę procedūrą, kol rasite atsakymą su jums reikalingu dešimtųjų skaičiumi (šimtosiomis, tūkstantosiomis dalimis).

Supraskite procedūrą

1. Apsvarstykite skaičių, kurio kvadratinę šaknį norite apskaičiuoti, kaip kvadrato plotą S. Kadangi kvadrato plotas yra L, kur L yra vienos iš jo kraštinių ilgis, taigi, suradę savo skaičiaus kvadratinę šaknį, bandote apskaičiuoti to kvadrato kraštinės ilgį L.
2. Kiekvienam atsakymo skaitmeniui suteikite raidę. Įveskite kintamąjį A kaip pirmąjį L skaitmenį (kvadratinę šaknį, kurią bandome apskaičiuoti). B yra antras skaitmuo, C - trečias ir t.
3. Duokite raidę kiekvienai skaičiaus, nuo kurio pradedate, „skaičių porai“. Pateikite kintamąjį S_a iki pirmosios skaitmenų poros S (pradinė vertė), S._b į antrą skaitmenų porą ir kt.
4. Supraskite šio metodo ir ilgo padalijimo santykį. Šis kvadratinės šaknies paieškos metodas iš esmės yra ilgas padalijimas, kai pradinę vertę padalijate iš kvadratinės šaknies ir „atsakote“ į kvadratinę šaknį. Kaip ir ilgo dalijimo atveju, kai jus domina tik kitas skaitmuo vienu metu, jus domina tik kiti du skaitmenys vienu metu (kurie atitinka kitą kvadratinės šaknies skaitmenį).
5. Raskite didžiausią skaičių, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus S._a yra. Pirmasis skaitmuo A mūsų atsakyme yra didžiausias sveikasis skaičius, kurio kvadratas nėra didesnis už S._a (A toks, kad A² ≤ Sa (A + 1) ²). Mūsų pavyzdyje S_a = 7 ir 2² ≤ 7 3², taigi A = 2.
   • Atkreipkite dėmesį, kad jei padalysite 88962 iš 7 naudodami ilgą dalijimą, pirmas žingsnis yra lygus: pirmiausia turite susitvarkyti su pirmuoju 88962 (8) skaitmeniu ir norite, kad didžiausias skaitmuo padaugintas iš 7 būtų mažesnis arba lygus 8. Iš esmės jūs nustatyti d toks, kad 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). Šiuo atveju d lygus 1.
6. Vizualizuokite aikštę, kurios plotą norite rasti. Jūsų atsakymas, pradinės vertės kvadratinė šaknis, yra L, apibūdinantis kvadrato, kurio plotas S (pradinė vertė), ilgį. A, B ir C reikšmės reiškia vertės L. skaitmenis. Kitas būdas tai pasakyti yra tai, kad 2 skaitmenų atsakymui 10A + B = L ir 3 skaitmenų atsakymui 100A + 10B + C = L ir pan.
   • Mūsų pavyzdyje (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atminkite, kad 10A + B reiškia mūsų atsakymą L kartu su B vienetų padėtyje ir A dešimčių padėtyje. Pavyzdžiui, jei A = 1 ir B = 2, tada 10A + B yra skaičius 12. (10A + B) ² yra visos aikštės plotas, o 100A² yra didžiausios vidinės aikštės plotas, B² yra mažiausios aikštės plotas ir 10A × B yra kiekvieno likusio stačiakampio plotas. Atlikdami šią ilgą, sudėtingą procedūrą, mes galime rasti viso kvadrato plotą, pridėdami kvadratų ir stačiakampių plotus, kurie yra jo dalis.
7. Iš S atimkite A²._a. Atneškite skaičių porą (S._b) žemyn nuo skaičiaus S. S._a S._b yra beveik visas aikštės plotas, iš kurio jūs tiesiog atėmėte didžiausios vidinės aikštės plotą. Likusi dalis yra, tarkime, skaičius N1, kurį gavome atlikdami 4 žingsnį (N1 = 380 mūsų pavyzdyje). N1 yra lygus 2 × 10A × B + B² (2 stačiakampių plotas ir mažo kvadrato plotas).
8. Pažvelkite į N1 = 2 × 10A × B + B², taip pat parašyta kaip N1 = (2 × 10A + B) × B. Mūsų pavyzdyje jūs jau žinote N1 (380) ir A (2), todėl dabar turite rasti B. B tikriausiai nėra sveikas skaičius, todėl jūs turite iš tikrųjų raskite didžiausią sveikąjį skaičių B, kad (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Taigi dabar jūs turite: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Išspręskite lygtį. Norėdami išspręsti šią lygtį, padauginkite A iš 2, perkelkite jį į dešimt (padauginkite iš 10), įdėkite B į vienetus ir padauginkite rezultatą iš B. Kitaip tariant (2 × 10A + B) × B. Tai yra tiksliai tai, ką darote, kai 4 žingsnyje apatiniame dešiniajame kvadrante rašote „N_ × _ =“ (su N = 2 × A). 5 žingsnyje nustatote didžiausią sveikąjį skaičių B, kuris telpa žemiau eilutės, taigi (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Iš viso ploto atimkite plotą (2 × 10A + B) × B. Tai suteikia plotą S- (10A + B) ², į kurį dar neatsižvelgėte (ir kurį naudojate apskaičiuodami šiuos skaičius tuo pačiu būdu).
11. Norėdami apskaičiuoti kitą skaitmenį C, pakartokite procedūrą. Perkelkite kitą skaičių porą iš S žemyn (S_c), kad gautumėte N2 į kairę, ir ieškokite didžiausio C, kad dabar turėtumėte: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (lygus du kartus po dviejų skaitmenų skaičiumi „AB“) pagal "_ × _ =" Dabar nustatykite didžiausią skaičių, kurį galite įvesti čia, o tai suteiks jums mažesnį arba lygų N2 atsakymą.

Patarimai

• Perkėlus kablelį dviem vietomis (koeficientas 100), kablelis atitinkamame kvadratiniame šaknyje perkeliamas viena vieta (koeficientas 10).
• Pavyzdyje 1,73 galima laikyti „likusiu“: 780,14 = 27,92 + 1,73.
• Šis metodas tinka bet kuriai skaičių sistemai, ne tik dešimtainiai (dešimtainiai) sistemai.
• Nedvejodami atlikite skaičiavimus ten, kur norite. Kai kurie žmonės jį užrašo virš skaičiaus, kurio kvadratinę šaknį nori apskaičiuoti.
• Alternatyvus metodas yra toks: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Pavyzdžiui, norėdami apskaičiuoti kvadratinę šaknį 780,14, imkite sveiką skaičių, kurio kvadratas yra arčiausiai 780,14 (28), taigi = 780,14, x = 28 ir y = -3,86. Užpildžius ir įvertinus gaunama x + y / (2x), o tai suteikia (supaprastintus terminus) 78207/2800 arba apie 27.931 (1); kitas terminas - 4374188/156607 arba apie 27.930986 (5). Kiekvienas terminas prie ankstesnio prideda maždaug 3 dešimtųjų tikslumu.

Įspėjimai

• Įsitikinkite, kad skaičius padalytas į poras nuo kablelio. Dalijant 79520789182,47897 iš „79 52 07 89 18 2,4 78 97 "pateikia neteisingą rezultatą.