Turinys

• Žingsniai
• 1 metodas iš 3: kaip rasti nežinomą pusę
• 2 metodas iš 3: nežinomo kampo radimas
• 3 metodas iš 3: pavyzdžių problemos
• Patarimai

Kosinuso teorema plačiai naudojama trigonometrijoje. Jis naudojamas dirbant su netaisyklingais trikampiais, norint rasti nežinomus kiekius, pvz., Kraštus ir kampus. Teorema yra panaši į Pitagoro teoremą ir gana lengvai įsimenama. Kosinuso teorema sako, kad bet kuriame trikampyje ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Žingsniai

1 metodas iš 3: kaip rasti nežinomą pusę

1. 1 Užsirašykite žinomas vertes. Norėdami rasti nežinomą trikampio kraštą, turite žinoti kitas dvi kraštines ir kampą tarp jų.
   • Pavyzdžiui, duotas trikampis XYZ. YX kraštas yra 5 cm, YZ kraštas yra 9 cm, o Y kampas yra 89 °. Kas yra XZ pusė?
2. 2 Užsirašykite kosinuso teoremos formulę. Formulė: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, kur ${ displaystyle c}$ - nežinomas vakarėlis, ${ displaystyle cos {C}}$ - kampo, priešingo nežinomai pusei, kosinusas, ${ displaystyle a}$ ir ${ displaystyle b}$ - dvi gerai žinomos pusės.
3. 3 Prijunkite žinomas vertes į formulę. Kintamieji ${ displaystyle a}$ ir ${ displaystyle b}$ žymi dvi žinomas puses. Kintamasis ${ displaystyle C}$ yra žinomas kampas, esantis tarp šonų ${ displaystyle a}$ ir ${ displaystyle b}$.
   • Mūsų pavyzdyje XZ pusė nežinoma, todėl formulėje ji žymima kaip ${ displaystyle c}$... Kadangi kraštinės YX ir YZ yra žinomos, jos žymimos kintamaisiais ${ displaystyle a}$ ir ${ displaystyle b}$... Kintamasis ${ displaystyle C}$ yra kampas Y. Taigi, formulė bus parašyta taip: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Raskite žinomo kampo kosinusą. Padarykite tai naudodami skaičiuotuvą. Įveskite kampo vertę, tada spustelėkite ${ displaystyle COS}$... Jei neturite mokslinio skaičiuotuvo, pavyzdžiui, čia rasite internetinę kosinuso lentelę. Taip pat „Yandex“ galite įvesti „X laipsnių kosinusą“ (pakeisti kampo reikšmę X), o paieškos variklis parodys kampo kosinusą.
   • Pavyzdžiui, kosinusas yra 89 ° ≈ 0,01745. Taigi: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Padauginkite skaičius. Padauginti ${ displaystyle 2ab}$ žinomo kampo kosinusu.
   • Pavyzdžiui:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Sulenkite žinomų pusių kvadratus. Atminkite, kad norint kvadratą padalyti į kvadratą, jis turi būti dauginamas pats. Pirmiausia kvadratuokite atitinkamus skaičius, tada pridėkite gautas reikšmes.
   • Pavyzdžiui:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
7. 7 Atimkite du skaičius. Jūs rasite ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Pavyzdžiui:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Paimkite šios vertės kvadratinę šaknį. Norėdami tai padaryti, naudokite skaičiuotuvą. Taip rasite nežinomą pusę.
   • Pavyzdžiui:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Taigi, nežinoma pusė yra 10,2191 cm.

2 metodas iš 3: nežinomo kampo radimas

1. 1 Užsirašykite žinomas vertes. Norėdami rasti nežinomą trikampio kampą, turite žinoti visas tris trikampio kraštines.
   • Pavyzdžiui, duotas trikampis RST. Šoninis CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Raskite kampo S vertę.
2. 2 Užsirašykite kosinuso teoremos formulę. Formulė: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, kur ${ displaystyle cos {C}}$ - nežinomo kampo kosinusas, ${ displaystyle c}$ - žinoma pusė priešais nežinomą kampą, ${ displaystyle a}$ ir ${ displaystyle b}$ - dar du garsūs vakarėliai.
3. 3 Raskite vertybes a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} ir c{ displaystyle c}. Tada prijunkite juos prie formulės.
   • Pavyzdžiui, RT pusė yra priešinga nežinomam kampui S, taigi RT pusė yra ${ displaystyle c}$ formulėje. Kitos partijos tai padarys ${ displaystyle a}$ ir ${ displaystyle b}$... Taigi, formulė bus parašyta taip: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Padauginkite skaičius. Padauginti ${ displaystyle 2ab}$ nežinomo kampo kosinusu.
   • Pavyzdžiui, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Stačias c{ displaystyle c} aikštėje. Tai yra, padauginkite patį skaičių.
   • Pavyzdžiui, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Sulenkite kvadratus a{ displaystyle a} ir b{ displaystyle b}. Bet pirmiausia kvadratuokite atitinkamus skaičius.
   • Pavyzdžiui:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Izoliuokite nežinomo kampo kosinusą. Norėdami tai padaryti, atimkite sumą ${ displaystyle a ^ {2}}$ ir ${ displaystyle b ^ {2}}$ iš abiejų lygties pusių. Tada padalinkite kiekvieną lygties pusę iš nežinomo kampo kosinuso koeficiento.
   • Pavyzdžiui, norėdami išskirti nežinomo kampo kosinusą, iš abiejų lygties pusių atimkite 164, tada kiekvieną kraštą padalinkite iš -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Apskaičiuokite atvirkštinį kosinusą. Tai suras nežinomo kampo vertę. Skaičiuoklėje žymima atvirkštinė kosinuso funkcija ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Pavyzdžiui, 0,0125 arkozinas yra 82,8192. Taigi kampas S yra 82,8192 °.

3 metodas iš 3: pavyzdžių problemos

1. 1 Raskite nežinomą trikampio kraštą. Žinomos kraštinės yra 20 cm ir 17 cm, o kampas tarp jų yra 68 °.
   • Kadangi jums nurodytos dvi kraštinės ir kampas tarp jų, galite naudoti kosinuso teoremą. Užsirašykite formulę: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Nežinoma pusė yra ${ displaystyle c}$... Prijunkite žinomas vertes į formulę: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Apskaičiuoti ${ displaystyle c ^ {2}}$, stebint matematinių operacijų tvarką:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Paimkite abiejų lygties pusių kvadratinę šaknį. Taip rasite nežinomą pusę:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Taigi, nežinoma pusė yra 20,8391 cm.
2. 2 Raskite kampą H trikampyje GHI. Dvi kraštinės, esančios greta kampo H, yra 22 ir 16 cm, o priešinga kampui H - 13 cm.
   • Kadangi nurodytos visos trys pusės, galima naudoti kosinuso teoremą. Užsirašykite formulę: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Priešais nežinomą kampą esanti pusė yra ${ displaystyle c}$... Prijunkite žinomas vertes į formulę: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Supaprastinkite gautą išraišką:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256–704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Izoliuokite kosinusą:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Raskite atvirkštinį kosinusą. Taip apskaičiuojate nežinomą kampą:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Taigi kampas H yra 35,7985 °.
3. 3 Raskite tako ilgį. Upės, kalvoto ir pelkėto takai sudaro trikampį. Upės tako ilgis 3 km, Kalvoto tako ilgis 5 km; šie takai susikerta 135 ° kampu. Pelkių takas jungia du kitų takų galus. Raskite pelkės tako ilgį.
   • Trasos sudaro trikampį. Turite rasti nežinomo kelio ilgį, kuris yra trikampio kraštinė. Kadangi nurodomi kitų dviejų kelių ilgiai ir kampas tarp jų, galima naudoti kosinuso teoremą.
   • Užsirašykite formulę: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Nežinomas kelias (pelkė) bus pažymėtas kaip ${ displaystyle c}$... Prijunkite žinomas vertes į formulę: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Apskaičiuoti ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0,7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Paimkite abiejų lygties pusių kvadratinę šaknį. Taip rasite nežinomo kelio ilgį:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Taigi, pelkės tako ilgis yra 7,4306 km.

Patarimai

• Lengviau naudoti sinuso teoremą. Todėl pirmiausia išsiaiškinkite, ar jis gali būti pritaikytas konkrečiai problemai.