Turinys

• Preliminari informacija
• Žingsniai
• 1 dalis iš 3: Pagrindai
• 2 dalis iš 3: Laplaso transformacijos savybės
• 3 dalis iš 3: Laplaso transformacijos radimas pagal serijos išplėtimą

Laplaso transformacija yra neatskiriama transformacija, naudojama sprendžiant diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais. Ši transformacija plačiai naudojama fizikoje ir inžinerijoje.

Nors galite naudoti atitinkamas lenteles, naudinga suprasti Laplaso transformaciją, kad prireikus galėtumėte tai padaryti patys.

Preliminari informacija

• Suteikta funkcija ${ displaystyle f (t)}$apibrėžta ${ displaystyle t geq 0.}$ Tada Laplaso transformacija funkcija ${ displaystyle f (t)}$ yra kita kiekvienos vertės funkcija ${ displaystyle s}$, kur integralas susilieja:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplaso transformacija perima funkciją iš t-regiono (laiko skalės) į s-sritį (transformacijos sritį), kur ${ displaystyle F (s)}$ yra sudėtinga kintamojo funkcija. Tai leidžia perkelti funkciją į vietą, kur lengviau rasti sprendimą.
• Akivaizdu, kad Laplaso transformacija yra tiesinis operatorius, taigi, jei mes susiduriame su terminų suma, kiekvienas integralas gali būti apskaičiuojamas atskirai.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Atminkite, kad Laplaso transformacija veikia tik tada, kai integralas susilieja. Jei funkcija ${ displaystyle f (t)}$ turi nepertraukiamumo, būtina būti atsargiems ir teisingai nustatyti integracijos ribas, kad būtų išvengta netikrumo.

Žingsniai

1 dalis iš 3: Pagrindai

1. 1 Pakeiskite šią funkciją į Laplaso transformacijos formulę. Teoriškai labai lengva apskaičiuoti funkcijos Laplaso transformaciją. Pavyzdžiui, apsvarstykite funkciją ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, kur ${ displaystyle a}$ yra sudėtinga konstanta su ${ displaystyle operacijos pavadinimas {Re} (-ai) operacijos pavadinimas {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Įvertinkite integralą, naudodami turimus metodus. Mūsų pavyzdyje įvertinimas yra labai paprastas ir jūs galite tai padaryti paprastais skaičiavimais. Sudėtingesniais atvejais gali prireikti sudėtingesnių metodų, pavyzdžiui, integravimo dalimis arba diferenciacijos pagal vientisą ženklą. Apribojimo sąlyga ${ displaystyle operacijos pavadinimas {Re} (-ai) operacijos pavadinimas {Re} (a)}$ reiškia, kad integralas susilieja, tai yra, jo vertė linkusi į 0 kaip ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {sulygiuota}}}$
   • Atkreipkite dėmesį, kad tai suteikia mums dviejų tipų Laplaso transformacijas, kuriose yra sinusas ir kosinusas, nes pagal Eulerio formulę ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Šiuo atveju vardiklyje gauname ${ displaystyle s-ia,}$ ir belieka tik nustatyti tikras ir įsivaizduojamas dalis. Taip pat galite tiesiogiai įvertinti rezultatą, tačiau tai užtruks šiek tiek ilgiau.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operacijos pavadinimas {Re} kairėn ({ frac {1} {s-ia}} dešinė) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operacijos pavadinimas {Im} kairėn ({ frac {1} {s-ia}} dešinė) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Apsvarstykite galios funkcijos Laplaso transformaciją. Pirma, turite apibrėžti galios funkcijos transformaciją, nes tiesiškumo savybė leidžia rasti transformaciją iš visų daugianariai. Formos funkcija ${ displaystyle t ^ {n},}$ kur ${ displaystyle n}$ - bet koks teigiamas sveikasis skaičius. Galima integruoti po gabalą, kad būtų apibrėžta rekursinė taisyklė.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { matematika {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Šis rezultatas išreiškiamas netiesiogiai, tačiau pakeitus kelias reikšmes ${ displaystyle n,}$ galite nustatyti tam tikrą modelį (pabandykite tai padaryti patys), kuris leidžia jums gauti tokį rezultatą:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Naudodami gama funkciją taip pat galite apibrėžti trupmeninių galių Laplaso transformaciją. Pavyzdžiui, tokiu būdu galite rasti tokios funkcijos, kaip, transformaciją ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { kv.m. { pi}} {2 s { sqrt {s}}}}}$
   • Nors funkcijos, turinčios trupmenines galias, turi turėti pjūvius (atminkite, bet kokie sudėtingi skaičiai ${ displaystyle z}$ ir ${ displaystyle alpha}$ galima rašyti kaip ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, nes ${ displaystyle e ^ { alfa operacijos pavadinimas {Žurnalas} z}}$), jie visada gali būti apibrėžti taip, kad pjūviai būtų kairėje pusės plokštumoje ir taip būtų išvengta analitinių problemų.

2 dalis iš 3: Laplaso transformacijos savybės

1. 1 Raskime funkcijos Laplaso transformaciją, padaugintą iš eat{ displaystyle e ^ {at}}. Ankstesniame skyriuje gauti rezultatai leido sužinoti keletą įdomių Laplaso transformacijos savybių. Panašu, kad tokių funkcijų kaip kosinusas, sinusas ir eksponentinė funkcija Laplaso transformacija yra paprastesnė nei galios funkcijos transformacija. Dauginimas iš ${ displaystyle e ^ {at}}$ t-regione atitinka pamaina s regione:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Ši savybė iš karto leidžia rasti funkcijų, tokių kaip, transformaciją ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, nereikia skaičiuoti integralo:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Raskime funkcijos Laplaso transformaciją, padaugintą iš tn{ displaystyle t ^ {n}}. Pirma, apsvarstykite dauginimą iš ${ displaystyle t}$... Pagal apibrėžimą galima atskirti funkciją pagal integralą ir gauti stebėtinai paprastą rezultatą:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - - int & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} pabaiga {suderinta}}}$
   • Kartodami šią operaciją, mes gauname galutinį rezultatą:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Nors integracijos ir diferenciacijos operatorių pertvarkymas reikalauja papildomo pagrindimo, mes jo čia nepateiksime, o tik pažymėsime, kad ši operacija yra teisinga, jei galutinis rezultatas turi prasmę. Taip pat galite atsižvelgti į tai, kad kintamieji ${ displaystyle s}$ ir ${ displaystyle t}$ nepriklauso vienas nuo kito.
   • Naudojant šią taisyklę, nesunku rasti tokių funkcijų, kaip ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, be pakartotinio integravimo dalimis:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Raskite funkcijos Laplaso transformaciją f(at){ displaystyle f (at)}. Tai galima padaryti lengvai, pakeičiant kintamąjį u naudojant transformavimo apibrėžimą:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F kairė ({ frac {s} {a}} dešinė) pabaiga {sulygiuota}}}$
   • Viršuje radome funkcijų Laplaso transformaciją ${ displaystyle sin at}$ ir ${ displaystyle cos at}$ tiesiai iš eksponentinės funkcijos. Naudodamiesi šia savybe galite gauti tą patį rezultatą, jei rasite tikras ir įsivaizduojamas dalis ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Raskite išvestinės Laplaso transformaciją f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Skirtingai nuo ankstesnių pavyzdžių, šiuo atveju privalau integruoti po gabalą:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) pabaiga {suderinta}}}$
   • Kadangi antrasis darinys atsiranda daugelyje fizinių problemų, mes taip pat randame Laplaso transformaciją:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Paprastai n -osios eilės išvestinės Laplaso transformacija apibrėžiama taip (tai leidžia išspręsti diferencialines lygtis naudojant Laplaso transformaciją):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

3 dalis iš 3: Laplaso transformacijos radimas pagal serijos išplėtimą

1. 1 Raskime Laplaso transformaciją periodinei funkcijai. Periodinė funkcija tenkina sąlygą ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ kur ${ displaystyle T}$ yra funkcijos laikotarpis, ir ${ displaystyle n}$ yra teigiamas sveikasis skaičius. Periodinės funkcijos yra plačiai naudojamos daugelyje programų, įskaitant signalų apdorojimą ir elektros inžineriją. Naudodami paprastas transformacijas, gauname tokį rezultatą:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = suma _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = suma _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = suma _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { sulygiuota}}}$
   • Kaip matote, periodinės funkcijos atveju pakanka Laplaso transformaciją atlikti vieną laikotarpį.
2. 2 Atlikite natūralaus logaritmo Laplaso transformaciją. Šiuo atveju integralas negali būti išreikštas elementarių funkcijų pavidalu. Naudojant gama funkciją ir jos serijos išplėtimą, galima įvertinti natūralų logaritmą ir jo laipsnius. Eulerio-Mascheroni konstantos buvimas ${ displaystyle gamma}$ parodo, kad norint įvertinti šį integralą, būtina naudoti serijos išplėtimą.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Apsvarstykite nenormalizuotos sinc funkcijos Laplaso transformaciją. Funkcija ${ displaystyle operacijos pavadinimas {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ plačiai naudojamas signalų apdorojimui, diferencialinėse lygtyse jis yra lygiavertis pirmosios rūšies sferinei Besselio funkcijai ir nulinės eilės ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Šios funkcijos Laplaso transformacijos taip pat negalima apskaičiuoti standartiniais metodais. Šiuo atveju atskirų serijos narių, kurios yra galios funkcijos, transformacija atliekama, todėl jų transformacijos būtinai susilieja tam tikru intervalu.
   • Pirmiausia rašome funkcijos išplėtimą „Taylor“ serijoje:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Dabar mes naudojame jau žinomą galios funkcijos Laplaso transformaciją. Faktorialai atšaukiami, todėl gauname „Taylor“ išplėtimą arktangentui, tai yra, kintančią seriją, kuri panaši į „Taylor“ seriją sinusui, bet be faktorių:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = įdegis ^ {- 1} { frac {1} {s}} pabaiga {suderinta}}}$