Turinys

• Žingsniai
• 1 dalis iš 2: pagrindai
• 2 dalis iš 2: Išplėstinė matricos transformacija siekiant išspręsti SLAE
• Patarimai

Lygčių sistema yra dviejų ar daugiau lygčių rinkinys, turintis bendrą nežinomų dalykų rinkinį, taigi ir bendrą sprendimą. Tiesinių lygčių sistemos grafikas yra dvi tiesės, o sistemos sprendimas yra šių tiesių susikirtimo taškas. Norint išspręsti tokias linijinių lygčių sistemas, naudinga ir patogu naudoti matricas.

Žingsniai

1 dalis iš 2: pagrindai

1. 1 Terminologija. Linijinių lygčių sistemos susideda iš įvairių komponentų. Kintamasis žymimas abėcėlės simboliu (dažniausiai x arba y) ir reiškia skaičių, kurio dar nežinote ir turite rasti. Konstanta yra tam tikras skaičius, nekeičiantis jo vertės.Koeficientas yra skaičius prieš kintamąjį, tai yra skaičius, iš kurio kintamasis padauginamas.
   • Pavyzdžiui, tiesinei lygčiai 2x + 4y = 8, x ir y yra kintamieji, 8 yra pastovus, o skaičiai 2 ir 4 yra koeficientai.
2. 2 Linijinių lygčių sistemos forma. Tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistemą su dviem kintamaisiais galima parašyti taip: ax + by = p, cx + dy = q. Bet kokios konstantos (p, q) gali būti lygios nuliui, tačiau kiekvienoje iš lygčių turi būti bent vienas kintamasis (x, y).
3. 3 Matricos išraiškos. Bet kurią SLAE galima parašyti matricos pavidalu, o tada, naudojant matricų algebrines savybes, ją išspręsti. Rašant lygčių sistemą matricos pavidalu, A reiškia matricos koeficientus, C - pastovias matricas, o X - nežinomą matricą.
   • Pavyzdžiui, aukščiau pateiktą SLAE galima perrašyti tokia matricos forma: A x X = C.
4. 4 Išplėsta matrica. Išplėstinė matrica gaunama perkeliant laisvųjų terminų (konstantų) matricą į kairę pusę. Jei turite dvi matricas, A ir C, išplėsta matrica atrodys taip:
   • Pavyzdžiui, šiai linijinių lygčių sistemai:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Išplėsta matrica bus 2x3 ir atrodys taip:

2 dalis iš 2: Išplėstinė matricos transformacija siekiant išspręsti SLAE

1. 1 Elementarios operacijos. Galite atlikti tam tikras operacijas su matrica, taip gaudami matricą, lygiavertę pradinei. Tokios operacijos vadinamos elementariomis. Pavyzdžiui, norėdami išspręsti 2x3 matricą, turite atlikti eilučių operacijas, kad matrica būtų trikampė. Tokios operacijos gali būti:
   • dviejų eilučių permutacija.
   • eilutę padauginus iš ne nulinio skaičiaus.
   • padauginkite eilutę ir pridėkite ją prie kitos.
2. 2 Antrosios eilutės dauginimas iš nulio nulio. Jei norite, kad antroje eilutėje būtų nulis, galite padauginti eilutę, kad tai būtų įmanoma.
   • Pavyzdžiui, jei turite tokią matricą:
     
     
     Galite išlaikyti pirmąją eilutę ir naudoti ją, kad antroje eilutėje gautumėte nulį. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turite padauginti antrąją eilutę iš 2:
3. 3 Dar kartą padauginkite. Kad pirmoje eilutėje gautumėte nulį, gali tekti dar kartą padauginti naudojant panašias manipuliacijas.
   • Pirmiau pateiktame pavyzdyje turite padauginti antrąją eilutę iš -1:
     
     
     Po daugybos matrica atrodys taip:
4. 4 Pridėkite pirmąją eilutę prie antrosios. Pridėkite eilučių, kad vietoj pirmo stulpelio ir antros eilutės gautumėte nulį.
   • Mūsų pavyzdyje pridėkite abi eilutes, kad gautumėte:
5. 5 Parašykite naują trikampės matricos linijinių lygčių sistemą. Gavę trikampę matricą, galite grįžti prie SLAE. Pirmasis matricos stulpelis atitinka nežinomą kintamąjį x, o antrasis - nežinomą kintamąjį y. Trečiasis stulpelis atitinka lygties perėmimą.
   • Mūsų pavyzdyje nauja linijinių lygčių sistema bus tokia:
6. 6 Išspręskite vieno iš kintamųjų lygtį. Naujojoje SLAE nustatykite, kurį kintamąjį lengviausia rasti ir išspręsti lygtį.
   • Mūsų pavyzdyje patogiau spręsti nuo galo, tai yra, nuo paskutinės lygties iki pirmosios, judant iš apačios į viršų. Iš antrosios lygties galime lengvai rasti y sprendimą, nes atsikratėme x, taigi y = 2.
7. 7 Raskite antrąjį nežinomą pagal pakeitimo metodą. Radę vieną iš kintamųjų, galite prijungti jį prie antrosios lygties, kad surastumėte antrąjį kintamąjį.
   • Mūsų pavyzdyje pirmoje lygtyje tiesiog pakeiskite y 2, kad rastumėte nežinomą x:

Patarimai

• Matricos elementai paprastai vadinami skaliarais.
• Norėdami išspręsti 2x3 matricą, turite atlikti elementarias eilutės operacijas. Negalite atlikti šių veiksmų stulpeliuose.